Merge pull request 'Добавление информации о методах (№1)' (#2) from dev into master

Reviewed-on: #2

6SST_NM.code-workspace

@@ -13,6 +13,12 @@
                "pdflatex"
             ]
          },
+         {
+            "name": "latexmk (xelatex)",
+            "tools": [
+               "xelatexmk"
+            ]
+         },
          {
             "name": "latexmk",
             "tools": [
@@ -34,12 +40,6 @@
                "pdflatex"
             ]
          },
-         {
-            "name": "tectonic",
-            "tools": [
-               "tectonic"
-            ]
-         }
       ],
       "latex-workshop.latex.tools": [
          {
@@ -50,6 +50,7 @@
                "-interaction=nonstopmode",
                "-file-line-error",
                "-pdf",
+               "-shell-escape",
                "-outdir=%OUTDIR%",
                "%DOC%"
             ],
@@ -81,6 +82,7 @@
             "command": "pdflatex",
             "args": [
                "-synctex=1",
+               // "-recorder",
                "-shell-escape",
                "-interaction=nonstopmode",
                "-file-line-error",
@@ -109,5 +111,6 @@
          }
       ],
       "latex-workshop.latex.rootFile.indicator": "\\begin{document}",
+      "latex-workshop.latex.recipe.default": "lastUsed",
    }
 }

appendix.tex

@@ -14,6 +14,51 @@
 \addcontentsline{toc}{chapter}{Приложения}
 \appendix
 
-% \section{Скрипты установки БД для компонента <<Хранение~данных>>}
+
-% \label{script:storage}
+\section{Результаты вывода программы}
-% \inputcode{../software/architecture/first-level/component-storage/CSt.db-script.sql}{frame=none,language=sql}
+\label{output_program}
+\begin{figure}[H]
+   \centering
+   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{assets/Thomas}
+   \caption{Вывод программы для решения СЛУ методом прогонки}
+\end{figure}
+\begin{figure}[H]
+   \centering
+   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{assets/Inverted}
+   \caption{Вывод программы для решения СЛУ методом обратной матрицы}
+\end{figure}
+\begin{figure}[H]
+   \centering
+   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{assets/lagrange}
+   \caption{График интерполяции функции методом Лагранжа}
+\end{figure}
+\begin{figure}[H]
+   \centering
+   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{assets/newton}
+   \caption{График интерполяции функции методом Ньютона}
+\end{figure}
+\begin{figure}[H]
+   \centering
+   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{assets/CubicSpline}
+   \caption{График сплайн-интерполяции функции с помощью \textbf{CubicSpline}}
+\end{figure}
+\begin{figure}[H]
+   \centering
+   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{assets/PchipInterpolator}
+   \caption{График сплайн-интерполяции функции с помощью \textbf{PchipInterpolator}}
+\end{figure}
+\begin{figure}[H]
+   \centering
+   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{assets/CubicHermiteSpline}
+   \caption{График сплайн-интерполяции функции с помощью \textbf{CubicHermiteSpline}}
+\end{figure}
+\begin{figure}[H]
+   \centering
+   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{assets/Akima1DInterpolator}
+   \caption{График сплайн-интерполяции функции с помощью \textbf{Akima1DInterpolator}}
+\end{figure}
+
+
+\section{Листинг программы}
+\label{program_code}
+\inputcode{code/main.py}{frame=none,language=python}

code/main.py

@@ -16,16 +16,16 @@ def plt_append(sp, x: list[float], y: list[float], label: str, format: str):
    sp.plot(x, y, format, label=label)
 
 
+def generate_array(min, max, density=10):
+   point_count = int(m.fabs(max-min)*density)
+   x = np.linspace(min, max, point_count)
+   return list(x.tolist())
+
+
 class NonLinear:
    bisect_exp = "x**2 * np.sin(x)"
    newton_exp = "np.sin(x) * np.sqrt(np.abs(x))"
 
-   @staticmethod
-   def generate_array(min, max):
-      point_count = int(m.fabs(max-min))*10
-      x = np.linspace(min, max, point_count)
-      return list(x.tolist())
-
    @staticmethod
    def slice_array(range: list[float], val_min, val_max):
       def index_search(range: list[float], val):
@@ -54,7 +54,7 @@ class NonLinear:
    def plot_bisect():
       bounds = 0, 6
       split_val = 1
-      x1 = NonLinear.generate_array(bounds[0], bounds[1])
+      x1 = generate_array(bounds[0], bounds[1])
       x2 = NonLinear.slice_array(x1, split_val, None)
 
       sp = create_subplot()
@@ -65,9 +65,9 @@ class NonLinear:
       plt_append(
           sp, x1, sol1[0], f"Исходные данные (y={NonLinear.bisect_exp})", "-b")
       plt_append(
-          sp, *(sol1[1]), f"bisect at [{bounds[0]},{bounds[1]}]", "or")
+          sp, *(sol1[1]), f"bisect на [{bounds[0]},{bounds[1]}]", "or")
       plt_append(
-          sp, *(sol2[1]), f"bisect at [{split_val},{bounds[1]}]", "og")
+          sp, *(sol2[1]), f"bisect на [{split_val},{bounds[1]}]", "og")
 
       sp.set_title("scipy.optimize.bisect")
       sp.legend(loc='lower left')
@@ -84,7 +84,7 @@ class NonLinear:
    def plot_newton():
       bounds = -2, 7
       split_l, split_r = 2, 5
-      x1 = NonLinear.generate_array(bounds[0], bounds[1])
+      x1 = generate_array(bounds[0], bounds[1])
       x2 = NonLinear.slice_array(x1, split_l, split_r)
       x0_1, x0_2 = 1/100, 4
       sp = create_subplot()
@@ -95,9 +95,9 @@ class NonLinear:
       plt_append(
           sp, x1, sol1[0], f"Исходные данные (y={NonLinear.newton_exp})", "-b")
       plt_append(
-          sp, *(sol1[1]), f"newton at [{bounds[0]},{bounds[1]}]", "or")
+          sp, *(sol1[1]), f"newton на отрезке [{bounds[0]},{bounds[1]}]", "or")
       plt_append(
-          sp, *(sol2[1]), f"newton at [{split_l},{bounds[1]}]", "og")
+          sp, *(sol2[1]), f"newton на отрезке [{split_l},{bounds[1]}]", "og")
 
       sp.set_title("scipy.optimize.newton")
       sp.legend(loc='lower left')
@@ -137,7 +137,8 @@ class SLE:
          new_data = []
          new_len = len(data[0][0])
          zipped = list(zip(*tuple(data[0])))
-         zipped[len(zipped)-1] = (zipped[len(zipped)-1][0],zipped[len(zipped)-2][1])
+         zipped[len(zipped)-1] = (zipped[len(zipped)-1]
+                                  [0], zipped[len(zipped)-2][1])
          complement_to = new_len - len(zipped[0])
          for i, val in enumerate(zipped):
             zero_r = complement_to - i
@@ -159,7 +160,7 @@ class SLE:
             if coef != 0:
                print(f"({coef}{SLE.var_str(i_coef)}) + ", end='')
             else:
-               print(f"  {coef}   + ",end='')
+               print(f"  {coef}   + ", end='')
          print(f"({val[-1]}{SLE.var_str(len(val)-1)})", end='')
          print(f" = {data[1][i]}")
 
@@ -213,12 +214,215 @@ class SLE:
       if method in ["banded", "all"]:
          SLE.print_tridiagonal()
 
+
 class Approx:
-   function = "np.sin(x) * np.sqrt(np.abs(x))"
+   function_exp = "np.sin(x) * np.sqrt(np.abs(x))"
+   least_sq_exp = "np.sin(x) * np.abs(x)"
+
+   @staticmethod
+   def get_function_exp_der(*args):
+      function_der_exp = "(x * np.sin(x) + 2 * x**2 * np.cos(x)) / (2 * np.sqrt(np.abs(x)) ** 3)"
+      result = ()
+      for i in args:
+         array = []
+         for x in i:
+            array.append(eval(function_der_exp))
+
+         result = result + (array,)
+      return result
+
+   @staticmethod
+   def generate_y(x_array, function):
+      result = []
+      for x in x_array:
+         result.append(eval(function))
+      return result
+
+   @staticmethod
+   def lagrange(x, y):
+      return sitp.lagrange(x, y)
+
+   @staticmethod
+   def get_approx_data(function=function_exp, bounds=[-6, 6]):
+      x1 = generate_array(bounds[0], bounds[1], 1/2)
+      x2 = generate_array(bounds[0], bounds[1], 1)
+      y1 = Approx.generate_y(x1, function)
+      y2 = Approx.generate_y(x2, function)
+      x_real = generate_array(bounds[0], bounds[1])
+      y_real = Approx.generate_y(x_real, function)
+      return x1, x2, y1, y2, x_real, y_real
+
+   @staticmethod
+   def plot_lagrange():
+      x1, x2, y1, y2, x_real, y_real = Approx.get_approx_data()
+
+      sp = create_subplot()
+      sol1 = np.polynomial.polynomial.Polynomial(
+          Approx.lagrange(x1, y1).coef[::-1])
+      sol2 = np.polynomial.polynomial.Polynomial(
+          Approx.lagrange(x2, y2).coef[::-1])
+
+      plt_append(
+          sp, x_real, y_real, f"Исходные данные (y={Approx.function_exp})", "--b")
+      plt_append(
+          sp, x_real, sol1(np.array(x_real)), f"f1 = lagrange, кол-во точек = {len(x1)}", "-m")
+      plt_append(
+          sp, x_real, sol2(np.array(x_real)), f"f2 = lagrange, кол-во точек = {len(x2)}", "-r")
+      plt_append(
+          sp, x1, y1, f"Исходные точки для f1", ".m")
+      plt_append(
+          sp, x2, y2, f"Исходные точки для f2", ".r")
+
+      sp.set_title("scipy.interpolate.lagrange")
+      sp.legend(loc='lower left')
+
+   @staticmethod
+   def plot_spline():
+      x1, x2, y1, y2, x_real, y_real = Approx.get_approx_data()
+      d1, d2 = Approx.get_function_exp_der(x1, x2)
+
+      for interpolator in [sitp.CubicSpline,
+                           sitp.PchipInterpolator,
+                           sitp.CubicHermiteSpline,
+                           sitp.Akima1DInterpolator]:
+         sp = create_subplot()
+
+         if interpolator.__name__ != "CubicHermiteSpline":
+            args1 = x1, y1
+            args2 = x2, y2
+         else:
+            args1 = x1, y1, d1
+            args2 = x2, y2, d2
+
+         sol1 = interpolator(*args1)
+         sol2 = interpolator(*args2)
+         plt_append(
+             sp, x_real, y_real, f"Исходные данные (y={Approx.function_exp})", "--b")
+         plt_append(
+             sp, x_real, sol1(np.array(x_real)), f"f1 = {interpolator.__name__}, кол-во точек = {len(x1)}", "-m")
+         plt_append(
+             sp, x_real, sol2(np.array(x_real)), f"f2 = {interpolator.__name__}, кол-во точек = {len(x2)}", "-r")
+         plt_append(
+             sp, x1, y1, f"Исходные точки для f1", ".m")
+         plt_append(
+             sp, x2, y2, f"Исходные точки для f2", ".r")
+
+         sp.set_title(f"scipy.interpolate.{interpolator.__name__}")
+         sp.legend(loc='lower left')
+
+   @staticmethod
+   def linear(x, a, b):
+      return a*x + b
+
+   @staticmethod
+   def quadratic(x, a, b, c):
+      return a * (x**2) + (b*x) + c
+
+   @staticmethod
+   def fract(x, a, b, c):
+      return x / (a * x + b) - c
+
+   @staticmethod
+   def noise_y(y, rng):
+      diff = max(y) - min(y)
+      noise_coeff = diff*(10/100)
+      return y + (noise_coeff * rng.normal(size=len(y)))
+
+   @staticmethod
+   def plot_least_squares_curvefit():
+      rng = np.random.default_rng()
+      bounds = [3, 6]
+      x1, x2, y1, y2, x_real, y_real = Approx.get_approx_data(
+          Approx.least_sq_exp, bounds)
+      x_real = np.array(x_real)
+
+      y_real = Approx.noise_y(y_real, rng)
+      base_functions = [Approx.linear,
+                        Approx.quadratic, (Approx.fract, "x/(ax+b)")]
+
+      sp = create_subplot()
+      plt_append(
+          sp, x_real, y_real, f"y={Approx.least_sq_exp} на [{bounds[0]};{bounds[1]}], с шумом", ".b")
+      for bf in base_functions:
+         if isinstance(bf, tuple):
+            bf, desc = bf[0], bf[1]
+         else:
+            bf, desc = bf, None
+         optimal_params, _ = sopt.curve_fit(bf, x_real, y_real)
+         desc_str = f" ({desc}) " if desc is not None else ""
+         plt_append(
+             sp, x_real, bf(np.array(x_real), *optimal_params),
+             f"МНК, вид функции - {bf.__name__}{desc_str}", "-")
+      sp.set_title(f"scipy.optimize.curve_fit")
+      sp.legend(loc='lower left')
+
+   @staticmethod
+   def plot_least_squares():
+      rng = np.random.default_rng()
+
+      def exponential(x, a, b, c):
+         return np.sin(x) * np.sqrt(np.abs(x))
+      exponential.str = "np.sin(x) * np.sqrt(np.abs(x))"
+
+      def gen_y(x, a, b, c, noise=0., n_outliers=0):
+         y = exponential(x, a, b, c)
+         error = noise * rng.standard_normal(x.size)
+         outliers = rng.integers(0, x.size, n_outliers)
+         error[outliers] *= 10
+         return y + error
+
+      def loss(params, x, y):
+         return (exponential(x, params[0], params[1], params[2])) - y
+      params0 = np.array([0.1, 1, 0])
+      bounds = [-5, 3]
+      params_real = (3, 1, 5)
+      x_approx = np.array(generate_array(bounds[0], bounds[1], 4))
+      y_approx = np.array(gen_y(x_approx, *params_real,
+                                noise=0.3, n_outliers=4))
+
+      params_lsq = sopt.least_squares(
+          loss, params0, loss='linear', args=(x_approx, y_approx)).x
+      params_soft_l1 = sopt.least_squares(
+          loss, params0, loss='soft_l1', args=(x_approx, y_approx),f_scale=0.1).x
+      params_cauchy = sopt.least_squares(
+          loss, params0, loss='cauchy', args=(x_approx, y_approx), f_scale=2).x
+
+      x_real = np.array(generate_array(bounds[0], bounds[1]))
+      y_real = np.array(gen_y(x_real, *params_real, 0, 0))
+
+      sp = create_subplot()
+      sp.plot(x_real, y_real, "-b",
+              label=f"y={exponential.str} на [{bounds[0]};{bounds[1]}]")
+      sp.plot(x_approx, y_approx, ".r", label=f"Табличные значения с шумом")
+      sp.plot(x_real, gen_y(x_real, *params_lsq), color="green",
+              label=f"loss=\"linear\"", linestyle=(0, (5, 10)))
+      sp.plot(x_real, gen_y(x_real, *params_soft_l1), color="magenta",
+              label=f"loss=\"soft_l1\"", linestyle=(5, (5, 10)))
+      sp.plot(x_real, gen_y(x_real, *params_cauchy), color="black",
+              label=f"loss=\"cauchy\"", linestyle=(7, (5, 10)))
+
+      sp.set_title(f"scipy.optimize.least_squares")
+      sp.legend(loc='lower left')
+
+   @staticmethod
+   def plot(method: str = "all"):
+      if method in ["lagrange", "all"]:
+         Approx.plot_lagrange()
+      if method in ["spline", "all"]:
+         Approx.plot_spline()
+      if method in ["least_squares_curvefit", "all"]:
+         Approx.plot_least_squares_curvefit()
+      if method in ["least_squares", "all"]:
+         Approx.plot_least_squares()
+      plt.ylabel("y")
+      plt.xlabel("x")
+      plt.show()
+
 
 def main():
-   # NonLinear.plot()
+   NonLinear.plot()
    SLE.print()
+   Approx.plot()
 
 
 if __name__ == "__main__":

conclusion.tex

@@ -0,0 +1,15 @@
+\chapter*{Заключение}
+
+В ходе выполнения работы были выполнены поставленные задачи, цель
+достигнута. В ходе исследования возможностей библиотек выяснилось,
+что они не содержат реализаций численных методов для
+решения систем нелинейных уравнений.
+
+В целом, в ходе работы с библиотеками стоит отметить положительные
+стороны: гибкость интерфейсов, высокое качество решений, большое
+количество доступной информации о результатах работы алгоритма.
+
+Из недостатков интерфейса библиотек можно отметить его неоднородность ---
+некоторые численные методы реализованы с помощью классов, другие
+с помощью функций, что может незначительно увеличить время на
+освоение интерфейса библиотек и ее возможностей пользователями.

config.tex

@@ -5,6 +5,7 @@
 \usepackage{threeparttable}
 \usepackage[labelsep=endash,tableposition=top,labelfont=md,textfont=md]{caption}
 \usepackage{indentfirst}
+\usepackage{float}
 \usepackage{rotating}
 \usepackage{setspace}
 \usepackage{array}
@@ -111,6 +112,73 @@
    tabsize=3,
    escapechar={|},
    emptylines=0,
+   extendedchars=true,
+   literate={а}{{\cyra}}1
+   {б}{{\cyrb}}1
+   {в}{{\cyrv}}1
+   {г}{{\cyrg}}1
+   {д}{{\cyrd}}1
+   {е}{{\cyre}}1
+   {ё}{\"{\cyre}}1
+   {ж}{{\cyrzh}}1
+   {з}{{\cyrz}}1
+   {и}{{\cyri}}1
+   {й}{{\cyrishrt}}1
+   {к}{{\cyrk}}1
+   {л}{{\cyrl}}1
+   {м}{{\cyrm}}1
+   {н}{{\cyrn}}1
+   {о}{{\cyro}}1
+   {п}{{\cyrp}}1
+   {р}{{\cyrr}}1
+   {с}{{\cyrs}}1
+   {т}{{\cyrt}}1
+   {у}{{\cyru}}1
+   {ф}{{\cyrf}}1
+   {х}{{\cyrh}}1
+   {ц}{{\cyrc}}1
+   {ч}{{\cyrch}}1
+   {ш}{{\cyrsh}}1
+   {щ}{{\cyrshch}}1
+   {ъ}{{\cyrhrdsn}}1
+   {ы}{{\cyrery}}1
+   {ь}{{\cyrsftsn}}1
+   {э}{{\cyrerev}}1
+   {ю}{{\cyryu}}1
+   {я}{{\cyrya}}1
+   {А}{{\CYRA}}1
+   {Б}{{\CYRB}}1
+   {В}{{\CYRV}}1
+   {Г}{{\CYRG}}1
+   {Д}{{\CYR96}}1
+   {Е}{{\CYRE}}1
+   {Ё}{{\"{\CYRE}}}1
+   {Ж}{{\CYRZH}}1
+   {З}{{\CYRZ}}1
+   {И}{{\CYRI}}1
+   {Й}{{\CYRISHRT}}1
+   {К}{{\CYRK}}1
+   {Л}{{\CYRL}}1
+   {М}{{\CYRM}}1
+   {Н}{{\CYRN}}1
+   {О}{{\CYRO}}1
+   {П}{{\CYRP}}1
+   {Р}{{\CYRR}}1
+   {С}{{\CYRS}}1
+   {Т}{{\CYRT}}1
+   {У}{{\CYRU}}1
+   {Ф}{{\CYRF}}1
+   {Х}{{\CYRH}}1
+   {Ц}{{\CYRC}}1
+   {Ч}{{\CYRCH}}1
+   {Ш}{{\CYRSH}}1
+   {Щ}{{\CYRSHCH}}1
+   {Ъ}{{\CYRHRDSN}}1
+   {Ы}{{\CYRERY}}1
+   {Ь}{{\CYRSFTSN}}1
+   {Э}{{\CYREREV}}1
+   {Ю}{{\CYRYU}}1
+   {Я}{{\CYRYA}}1
 }
 \newcommand\inputcode[3][]{
    {\bfseries #1\filename{#2}}:

experimental_research.tex

@@ -0,0 +1,64 @@
+\chapter{Экспериментальное исследование возможностей библиотек}
+Для исследования возможностей библиотек была разработана программа
+на языке Python. Она позволяет изучить работу наиболее популярных
+численных методов: методов решения нелинейных уравнений и
+СЛУ, а также аппроксимации функций.
+
+Ее структура состоит из классов \textbf{NonLinear}, \textbf{SLE},
+\textbf{Approx}. Они состоят только из статических методов,
+пользовательских родительских классов не имеют.
+
+При запуске программа сначала выводит графики решений нелинейных
+уравнений в отдельных окнах (рисунок \ref{bisect}, рисунок\ref{newton}),
+входные и выходные данные для методов решения СЛУ в терминале, и
+затем результаты аппроксимации, так же в виде графиков в отдельных
+окнах.
+
+Результат работы метода Гаусса (вывод терминала) приведен на 
+рисунке \ref{gauss}.
+
+Вывод графиков осуществляется с помощью библиотеки \textbf{matplotlib},
+через функции \textbf{matplotlib.pyplot.plot} и \textbf{matplotlib.pyplot.subplots} \cite{links:matplotlib}.
+
+Все графики имеют заголовок, в котором написано название функции,
+легенду в нижнем левом углу, в которой описаны данные графика.
+\begin{figure}[ht]
+   \centering
+   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{assets/bisect.png}
+   \caption{Результат исследования функции bisect}
+   \label{bisect}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[ht]
+   \centering
+   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{assets/newton.png}
+   \caption{Результат исследования функции newton}
+   \label{newton}
+\end{figure}
+
+
+\begin{figure}[ht]
+   \centering
+   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{assets/Gauss.png}
+   \caption{Результат решения СЛУ методом Гаусса}
+   \label{gauss}
+\end{figure}
+
+Для получения результатов исследования отдельных классов численных
+методов есть следующие методы:
+\begin{enumerate}
+   \item \textbf{NonLinear.plot} для вывода графиков результатов
+         решения нелинейных уравнений, \textbf{Approx.plot} --- для вывода
+         графиков решения задачи аппроксимации.
+
+   \item \textbf{SLE.print} --- для вывода результатов решения
+         СЛУ в терминал
+\end{enumerate}
+
+Данные методы самостоятельно вызываются при запуске программы
+пользователем.
+
+Вывод терминала а также графики для остальных методов приведены 
+в приложении А.
+
+Код программы приведен в приложении Б.

main.tex

@@ -556,41 +556,57 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
 Обе функции принимают матрицу \(ab\) либо в верхней (\textbf{solve\_banded}), либо в нижней форме (\textbf{solveh\_banded} при
 включенной опции \(lower\)). Например, для матрицы
 
-\begin{tabular}[htpb]{ccccc}
+\begin{equation*}
-   5 & 2 & -1 & 0  & 0  \\
+   \left(
-   1 & 4 & 2  & -1 & 0  \\
+   \begin{aligned}
-   0 & 1 & 3  & 2  & -1 \\
+   5 && 2 && -1 && 0  && 0  \\
-   0 & 0 & 1  & 2  & 2  \\
+   1 && 4 && 2  && -1 && 0  \\
-   0 & 0 & 0  & 1  & 1  \\
+   0 && 1 && 3  && 2  && -1 \\
-\end{tabular}\\
+   0 && 0 && 1  && 2  && 2  \\
+   0 && 0 && 0  && 1  && 1 
+   \end{aligned}
+   \right)
+\end{equation*}
 верхняя форма будет следующей:
 
-\begin{tabular}[htpb]{ccccc}
+\begin{equation*}
-   0 & 0 & -1 & -1 & -1 \\
+   \left(
-   0 & 2 & 2  & 2  & 2  \\
+   \begin{aligned}
-   5 & 4 & 3  & 2  & 1  \\
+   0 && 0 && -1 && -1 && -1 \\
-   1 & 1 & 1  & 1  & 0  \\
+   0 && 2 && 2  && 2  && 2  \\
-\end{tabular}
+   5 && 4 && 3  && 2  && 1  \\
+   1 && 1 && 1  && 1  && 0 
+\end{aligned}
+\right)
+\end{equation*}
 
 Так как данная матрица не эрмитова, и, следовательно, не положительно
 определенна, нижняя форма для нее не существует. Если взять эрмитову
 положительно определенную матрицу
 
-\begin{tabular}[htpb]{cccccc}
+\begin{equation*}
-   4  & 2  & -1 & 0  & 0  & 0  \\
+   \left(
-   2  & 5  & 2  & -1 & 0  & 0  \\
+   \begin{aligned}
-   -1 & 2  & 6  & 2  & -1 & 0  \\
+   4  && 2  && -1 && 0  && 0  && 0  \\
-   0  & -1 & 2  & 7  & 2  & -1 \\
+   2  && 5  && 2  && -1 && 0  && 0  \\
-   0  & 0  & -1 & 2  & 8  & 2  \\
+   -1 && 2  && 6  && 2  && -1 && 0  \\
-   0  & 0  & 0  & -1 & 2  & 9  \\
+   0  && -1 && 2  && 7  && 2  && -1 \\
-\end{tabular}\\
+   0  && 0  && -1 && 2  && 8  && 2  \\
+   0  && 0  && 0  && -1 && 2  && 9  
+\end{aligned}
+\right)
+\end{equation*}
 то ее нижняя форма будет следующая:
 
-\begin{tabular}[htpb]{cccccc}
+\begin{equation*}
-   4  & 5  & 6  & 7  & 8 & 9 \\
+   \left(
-   2  & 2  & 2  & 2  & 2 & 0 \\
+   \begin{aligned}
-   -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 \\
+   4  && 5  && 6  && 7  && 8 && 9 \\
-\end{tabular}
+   2  && 2  && 2  && 2  && 2 && 0 \\
+   -1 && -1 && -1 && -1 && 0 && 0 
+\end{aligned}
+\right)
+\end{equation*}
 
 \subsection{Метод простой итерации (метод Якоби)}
 \subsubsection{Описание метода}
@@ -1904,9 +1920,8 @@ f\(x\), если \(f^{(4)}(x) = 0, x \in [a;b] \), в соответствии
                   считается плотной.
          \end{itemize}
 \end{enumerate}
-\chapter{Экспериментальное исследование возможностей библиотек}
+\input{experimental_research}
-
+\input{conclusion}
-\chapter*{Заключение}
 \addcontentsline{toc}{chapter}{Заключение}
 
 \input{sources}

presentation.tex

@@ -1,6 +1,4 @@
 \documentclass{beamer}
-
-
 \usepackage[russian]{babel}
 \usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage[outputdir=cache]{minted}
@@ -14,7 +12,7 @@
 \title[]{\cwtitle}
 \institute[]{ФГБОУ ВО «Вятский государственный университет»}
 \date{\null}
-\author[ ]{Студент ПМИб-3301-52-00 \cwauthor\\  \and к.п.н. А.Н.~Соколова}
+\author[ ]{Студент ПМИб-3301-52-00 \cwauthor \newline  \and к.п.н. А.Н.~Соколова}
 
 \newcommand\frametitleSpec[1]{%
 \frametitle{#1}
@@ -27,43 +25,150 @@
 
 \begin{document}
 \begin{frame}
-   \centering\includegraphics[width=0.4\textwidth]{files/vyatsu_logo.png}\\
+   \centering\includegraphics[width=0.4\textwidth]{assets/vyatsu_logo.png}\\
    \titlepage
 \end{frame}
 \begin{frame}
    \frametitle{План доклада}
-
    \tableofcontents
 
 \end{frame}
 \begin{frame}
    \frametitleSpec{Введение}
-   Активное внедрение компьютеров во всевозможные отрасли жизни человека привело к тому, что при решении прикладных задач требование к скорости и дешевизне разработки стало выше требований производительности и ресурсоемкости разрабатываемой программы.
+   Для языка Python разработаны библиотеки numpy и scipy
+   математической направленности.
+   Они включают в себя множество алгоритмов решения разнообразных задач, в том числе для интегрирования функций, осуществления операций над массивами и
+   матрицами.
    \begin{enumerate}
-      \item Проблема состоит в том, что на данный момент ОС, которая бы могла более эффективно использовать текущее АО устройств, не разработана.
+      \item Проблема состоит в том, что на данный момент особенности
-      \item Целью данной работы является рассмотрение архитектуры и разработка части прототипа данной ОС.
+            библиотек, полнота их возможностей с точки зрения решения
+            задач численными методами недостаточно исследованы.
+      \item \textbf{Целью} данной работы является исследование
+            вышеприведенных характеристик данных библиотек.
+      \item Для достижения цели курсового проекта необходимо выполнить
+            следующие \textbf{задачи}:
             \begin{itemize}
-               \item Изучить архитектуру и требования прототипа ОС.
+               \item Изучить распространенные численные методы решения
-               \item Определить перечень сервисов обеспечения целостности и оптимизации экосистемы устройств.
+                     основных классов задач.
-               \item Разработать БД и сервисы обеспечения целостности и оптимизации прототипа экосистемы устройств.
+               \item Изучить документацию библиотек numpy и scipy на
+                     предмет реализации рассмотренных методов.
+               \item Экспериментально исследовать возможности
+                     реализаций рассмотренных численных методов данных
+                     библиотек.
             \end{itemize}
    \end{enumerate}
 \end{frame}
 
 \begin{frame}
-   \frametitleSpec{О программной реализации}
+   \frametitleSpec{Рассмотренные численные методы}
-   Реализация сервисов написана на языке C++ в виде отдельных компонентов.
+
+   Всего было рассмотрено 20 численных методов, каждый из которых
+   решает свой класс задач:
+   \begin{enumerate}
+      \item Решение нелинейных уравнений
+            \begin{itemize}
+               \item Метод деления отрезка пополам
+               \item Метод касательных (Ньютона)
+               \item Метод простой итерации
+            \end{itemize}
+      \item Решение СЛУ:
+            \begin{itemize}
+               \item Метод Гаусса
+               \item Метод обратной матрицы
+               \item Метод прогонки
+               \item Метод простой итерации
+               \item Метод Зейделя
+            \end{itemize}
+      \item Решение систем нелинейных уравнений, с помощью метода Ньютона, и модифицированных версий методов Зейделя и простой итерации.
+   \end{enumerate}
+
+\end{frame}
+\begin{frame}
+   \begin{enumerate}
+      \item Аппроксимация функций
+            \begin{itemize}
+               \item Интерполяционные полиномы Лагранжа, Ньютона
+               \item Сплайн-интерполяция
+               \item Сглаживание. Метод наименьших квадратов
+            \end{itemize}
+      \item Численное интегрирование
+            \begin{itemize}
+               \item Метод трапеций
+               \item Метод парабол
+            \end{itemize}
+      \item Решение задачи Коши ОДУ
+            \begin{itemize}
+               \item Метод Эйлера, и его модифицированная версия
+               \item Метод Рунге-Кутта
+            \end{itemize}
+   \end{enumerate}
+
+\end{frame}
+\begin{frame}
+   \frametitleSpec{Экспериментальное исследование библиотек}
+   Была разработана программа на языке Python, использующая
+   возможности scipy и numpy для решения задач.
    \begin{figure}[h]
       \centering
-      \includegraphics[width=0.25\textwidth]{files/cpp-logo.png}
+      \includegraphics[width=0.25\textwidth]{assets/python-logo.png}
    \end{figure}
+
+   В программе были приведены примеры решения СЛУ, нелинейных уравнений
+   и задач аппроксимации функций с помощью описанных в данной работе
+   методов. Программа не интерактивная.
 \end{frame}
 
+\begin{frame}
+   \frametitleSpec{Результаты работы программы}
+   \begin{figure}
+      \includegraphics[width=0.5\textwidth]{assets/bisect}
+   \end{figure}
+   \begin{figure}
+      \includegraphics[width=0.65\textwidth]{assets/Gauss}
+   \end{figure}
+
+\end{frame}
+\begin{frame}
+   \begin{figure}
+      \includegraphics[width=1\textwidth]{assets/Thomas.png}
+   \end{figure}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+   \begin{figure}
+      \includegraphics[width=1\textwidth]{assets/lagrange.png}
+   \end{figure}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+   \begin{figure}
+      \includegraphics[width=1\textwidth]{assets/CubicSpline}
+   \end{figure}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+   \begin{figure}
+      \includegraphics[width=1\textwidth]{assets/Akima1DInterpolator.png}
+   \end{figure}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+   \begin{figure}
+      \includegraphics[width=1\textwidth]{assets/curve_fit.png}
+   \end{figure}
+\end{frame}
 \begin{frame}
    \frametitleSpec{Заключение}
-   При реализации прототипа экосистемы был разработан один из возможных вариантов деления на подсистемы, и рассмотрены возможные пути реализации.
+   В ходе выполнения работы были выполнены поставленные задачи, цель
-   Из недостатков текущей реализации можно отметить отсутствие компонента, отвечающего за безопасность и разделения прав доступа пользователей к вычислительным ресурсам сервера.
+   достигнута. В ходе исследования возможностей библиотек выяснилось,
-   Таким образом, задачи проекта выполнены, цель проекта достигнута.
+   что они не содержат реализаций численных методов для
+   решения систем нелинейных уравнений.
+
+   В целом, в ходе работы с библиотеками стоит отметить положительные
+   стороны: гибкость интерфейсов, высокое качество решений, большое
+   количество доступной информации о результатах работы алгоритма.
+
+   Из недостатков интерфейса библиотек можно отметить его
+   неоднородность --- некоторые численные методы реализованы с помощью
+   классов, другие с помощью функций, что может незначительно
+   увеличить время на освоение интерфейса библиотек и ее возможностей
+   пользователями.
 \end{frame}
 \begin{frame}
    \begin{center}

sources.tex

@@ -4,28 +4,25 @@
    \or 07.08.2023% 2
    \or 09.08.2023% 3
    \or 19.08.2023% 4
+   \or 17.10.2023% 5
    \else\@ctrerr\fi
 }
 \renewcommand\bibname{Библиографический список}
 \begin{thebibliography}{00}
    \addcontentsline{toc}{chapter}{Библиографический список}
-   \bibitem{book:nm-examples} Ахмадиев Ф.Г., Габбасов Ф.Г., Ермолаева Л.Б., Маланичев И.В. Численные методы. Примеры и задачи. Учебно-методическое пособие по курсам «Информатика» и «Вычислительная математика». -- Казань:
+   \bibitem{book:nm-examples} Ахмадиев Ф.Г., Габбасов Ф.Г., Ермолаева Л.Б., Маланичев И.В. Численные методы. Примеры и задачи. Учебно-методическое пособие по курсам «Информатика» и «Вычислительная математика». -- Казань: КГАСУ, 2017. -- 107 с.
-   КГАСУ, 2017. -- 107 с.
+   \bibitem{book:bahvalov} Бахвалов~Н.~С., Жидков~Н.~П., Кобельков~Г.~М. Численные методы. -- 7-е изд. -- М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. -- 636 с., c илл. -- (Классический университетский учебник).
-   \bibitem{book:bahvalov} Бахвалов~Н.~С., Жидков~Н.~П.,
+   \bibitem{links:matplotlib} Документация модуля pyplot библиотеки matplotlib [Электронный ресурс] -- URL:~\url{https://matplotlib.org/stable/api/pyplot_summary.html} (\LiteratureAccessDate[5]).
-   Кобельков~Г.~М. Численные методы. -- 7-е изд. -- М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,
-   2011. -- 636 с., c илл. -- (Классический университетский учебник).
    \bibitem{book:levitin} Левитин~A.~В. Алгоритмы: введение в разработку и анализ. -- Пер.~с~англ. -- М.:Издательский~дом~"Вильяме", 2006. -- 576 с., с ил.
    \bibitem{book:lectures} Письменный~Д.~Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть. -- М.: Рольф, 2000. -- 256 с., с илл.
+   \bibitem{article:fehlberg} Classical Fifth-, Sixth-, Seventh-, and Eighth-Order Runge-Kutta Formulas with Stepsize Control / Fehlberg E. // NASA technical report 287 -- 1968. -- P.~82
    \bibitem{links:numpy} Numpy. Официальный сайт проекта [Электронный ресурс] -- URL:~\url{https://numpy.org/} (\LiteratureAccessDate[2]).
    \bibitem{links:numpy_doc} Numpy API Reference [Электронный ресурс] -- URL:~\url{https://numpy.org/doc/stable/reference/index.html} (\LiteratureAccessDate[3]).
    \bibitem{links:PEP465} PEP 465 -- A dedicated infix operator for matrix multiplication [Электронный ресурс] -- URL:~\url{A dedicated infix operator for matrix multiplication} (\LiteratureAccessDate[4]).
-   \bibitem{links:python} Python. Официальный сайт проекта [Электронный ресурс] -- URL:~\url{https://www.python.org/} (\LiteratureAccessDate).
    \bibitem{links:bhatia} Positive definite matrices / R. Bhatia // Princeton Series in Applied Mathematics -- 2007.
+   \bibitem{links:python} Python. Официальный сайт проекта [Электронный ресурс] -- URL:~\url{https://www.python.org/} (\LiteratureAccessDate).
    \bibitem{links:scipy} Scipy. Официальный сайт проекта [Электронный ресурс] -- URL:~\url{https://scipy.org/} (\LiteratureAccessDate[2]).
    \bibitem{links:scipy_doc} Scipy API Reference [Электронный ресурс] -- URL:~\url{https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/index.html} (\LiteratureAccessDate[3]).
-   \bibitem{links:tiobe_index} TIOBE. Официальный сайт проекта
-   [Электронный ресурс] -- URL:~\url{https://www.tiobe.com/tiobe-index/} (\LiteratureAccessDate).
    \bibitem{journal:cartwright} Simpson's Rule Cumulative Integration with MS Excel and Irregularly-spaced Data / Cartwright, Kenneth V.  // Journal of Mathematical Sciences and Mathematics Education. -- 2017. -- Vol.~12~(2) -- P.~1-9.
-   \bibitem{article:fehlberg} Classical Fifth-, Sixth-, Seventh-, and Eighth-Order Runge-Kutta Formulas with Stepsize Control / Fehlberg E. // NASA technical report 287 -- 1968.
+   \bibitem{links:tiobe_index} TIOBE. Официальный сайт проекта [Электронный ресурс] -- URL:~\url{https://www.tiobe.com/tiobe-index/} (\LiteratureAccessDate).
-   -- P.~82
 \end{thebibliography}