\input{vars}
\input{config}

\begin{document}
\lstset{language=[11]C++}

%title-page
\include{titlepage}
\thispagestyle{empty}
\clearpage

\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\clearpage
\input{intro}

\chapter{Описание численных методов и возможностей библиотек numpy и scipy}
В данном разделе будут описаны численные методы и их доступные
реализации в библиотеках в частях, посвященным классам задач, которые
они решают.

Стоит учитывать, что scipy основан на numpy, поэтому при рассмотрении
возможностей данных библиотек часто может возникнуть ситуация,
когда искомый функционал содержится только в scipy, либо в numpy
или scipy одновременно.

\section{Численное решение нелинейных уравнений}
При решении некоторых практических задач или проведении исследований
может быть получена математическая модель, которая включает
непрерывную функцию \(F(x), x \in \textbf{R}\), и необходимо определить корни уравнения
\(F(x) = 0\). Если данное уравнение не имеет вид \(ax + b = 0\),
где \(a,b\) -- константы, то оно будет нелинейным.

Для решения нелинейных уравнений существует несколько методов, в данной работе будут рассмотрены итерационные.

Каждый из итерационных методов, перечисленных ниже, соответствует
следующему алгоритму из двух этапов \cite[с. 15]{book:nm-examples}.
\begin{enumerate}
   \item Отыскание приближенного значения корня или содержащего
         его отрезка.
   \item Уточнения значения до некоторой степени точности.
\end{enumerate}
Начальное приближение определяется, исходя из физических соображений
решений похожих задач или графических методов. Если ни один из этих
способов не доступен или не позволяет получить начальное приближение,
удовлетворяющее требованиям, то применяют следующий алгоритм
отыскания начального приближения:
\begin{enumerate}
   \item Производится поиск двух близкорасположенных значений
         \(a\) и \(b\) таких, что \(F(a) \cdot F(b) < 0\), при этом
         \(F(x)\) должна быть всюду определена на отрезке \([a;b]\).
   \item В качестве начального приближения первой итерации принимается
         значение \(x_0 \in [a;b]\), обычно это середина данного
         отрезка.
\end{enumerate}

Так как выполняется условие \(F(a) \cdot F(b) < 0\) и \(F(x)\)
непрерывна, то обязательно найдется такое \(x_k \in (a,b)\), что
\(F(x_k) = 0\) либо \(|F(x_k)| < \varepsilon\), где \(\varepsilon\)
--- погрешность искомого решения.
\subsection{Метод деления отрезка пополам}
Данный метод использует технику поиска решения, похожую на бинарный
поиск.

\subsubsection{Описание метода}
Дано начальное приближение \(x_0 = (a+b)/2\) при
\(F(a) \cdot F(b) < 0\). Для поиска решения уравнения \(x_k\)
применяем следующий алгоритм:
\begin{enumerate}
   \item Рассмотрим отрезки \([a;x_i], [x_i;b]\), \(i = 0 \dots k\)
         --- номер итерации. На первой итерации \(i = 0\).
         \label{list:hls_begin}
   \item Из рассмотренных отрезков берем те, что удовлетворяют условию
         \(F(a) \cdot F(b) < 0\), где \(a,b\) --- границы отрезка.
         \label{list:hls_test}
   \item Для каждого из взятых в п.\ref{list:hls_test} отрезков
         вычисляем их длину \(l\). Если \(l < \varepsilon\),
         тогда дальнейшее выполнение данного алгоритма для данного
         отрезка прекращается. За решение уравнения принимается
         число \((a+b)/2\), округленное с учетом заданной погрешности.
         Если для решения задачи достаточно любого одного решения,
         то работа алгоритма прекращается.
   \item Для каждого из взятых в п.\ref{list:hls_test} отрезков
         устанавливаем значения
         \(a,b,x_{i+1}\). Для левого отрезка эти значения будут равны
         \(a = a,b = x_i,x_{i+1} = (a+x_i)/2\), для правого ---
         \(a = x_i,b = b,x_{i+1} = (b+x_i)/2\).
         \label{list:hls_prepare}
   \item Для каждого из взятых отрезков переходим к
         п.\ref{list:hls_begin}, с увеличением номера итерации
         на \(1\) и установленными относительно взятого
         отрезка значениями из п.\ref{list:hls_prepare}.
\end{enumerate}

После применение метода на заданных входных данных получим множество
решений уравнения \(Ans = \{x, x \in \textbf{R}\}, |Ans| \geq 1\).

\subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
Библиотека scipy содержит функцию \textbf{bisect} из модуля
\textbf{scipy.optimize} \cite{links:scipy_doc}, которая реализует
данный метод.

Функция имеет следующие параметры (задаются в порядке перечисления):
\begin{enumerate}
   \item \(f\) --- function

         Функция Python, возвращающая число.\(f\) должна быть
         непрерывной, а \(f(a)\) и \(f(b)\) должны иметь
         противоположные знаки.
   \item \(a\) --- scalar

         Первый конец интервала \([a,b]\).
   \item \(b\) --- scalar

         Второй конец интервала \([a,b]\).
   \item \(xtol\) --- number, необязательный

         Вычисленный корень \(x0\) будет удовлетворять
         \verb|np.allclose(x, x0,| \verb|atol=xtol,|
         \verb|rtol=rtol)|, где \(x\) --- точный корень.
         Параметр должен быть положительным.
   \item \(rtol\) ---  number, необязательный

         Вычисленный корень \(x0\) будет удовлетворять
         \verb|np.allclose(x, x0,| \verb|atol=xtol, rtol=rtol)|,
         где \(x\) --- точный корень. Параметр не может быть
         меньше значения по умолчанию \verb|4*np.finfo(float).eps|.
   \item \(maxiter\) --- int, необязательный

         Если сходимость не достигается в итерациях \(maxiter\),
         возникает ошибка. Должен быть \(\geq 0\).
   \item \(args\) --- tuple, необязательный

         Содержит дополнительные аргументы для функции \(f\).
         \(f\) вызывается с помощью \verb|apply(f, (x)+args)|.
   \item \(full\_output\) --- bool, необязательный

         Если \(full\_output\) имеет значение \verb|False|,
         возвращается корень. Если \(full\_output\) имеет значение
         \verb|True|, возвращаемое значение равно \verb|(x, r)|, где
         \(x\) --- это корень, а \(r\) --- объект \verb|RootResults|.
   \item \(disp\) --- bool, необязательный

         Если \verb|True|, будет сгенерировано исключение
         \verb|RuntimeError|, если алгоритм не сошелся. В противном
         случае статус сходимости записывается в возвращаемый объект
         \verb|RootResults|.
\end{enumerate}

\subsection{Метод Ньютона (метод касательных)}
Данный итерационный метод позволит найти единственное решение
уравнения (если оно существует) для каждого из выбранных начальных
приближений.
\subsubsection{Описание метода}
На итерации \(i, i = 1\dots k\), строится касательная к кривой
\(y = F(x)\) в точке \((x_i;F(x_i))\), затем находится \(x_{i+1}\)
--- пересечение данной касательной с осью \(Ox\). Процесс продолжается
пока не будет достигнута заданная точность (\(| F ( x_i ) |< \varepsilon\)
или \(| x_{i+1} - x_i | < \varepsilon\)).

\subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
Библиотека scipy содержит функцию \textbf{newton} из модуля
\textbf{scipy.optimize} \cite{links:scipy_doc}, которая реализует
данный метод.

Функция имеет следующие параметры (задаются в порядке перечисления):
\begin{enumerate}
   \item \(f\) --- function

         Функция, корень которой требуется. Это должна быть функция
         одной переменной вида \(f(x,a,b,c \dots)\), где \(a,b,c \dots\)
         --- дополнительные аргументы, которые можно передать в параметре
         \(args\).
   \item \(x0\) --- float, sequence, или ndarray

         Начальная оценка корня, которая должна быть где-то рядом с
         фактическим корнем. Если \(f\) не скалярная, то \(f\) должна
         быть векторизована и возвращать последовательность или массив
         той же формы, что и ее первый аргумент.
   \item \(fprime\) --- callable, необязательный

         Производная функции, когда она доступна и удобна. Если это
         \verb|None| (по умолчанию), то используется метод секущей.
   \item \(args\) --- tuple, необязательный

         Дополнительные аргументы для использования при вызове функции.
   \item \(tol\) --- float, необязательный

         Допустимая погрешность значения корня. Если
         \(y=f(x),y \in \textbf{Z}\), рекомендуется большее значение
         \(tol\), так как и действительная, и мнимая части \(x\)
         вносят вклад в \(|x - x0|\).
   \item \(maxiter\) --- int, необязательный

         Максимальное количество итераций.
   \item \(fprime2\) --- callable, необязательный

         Производная функции второго порядка, если она доступна и удобна.
         Если это \verb|None| (по умолчанию), то используется обычный
         метод Ньютона или метод секущих. Если не \verb|None|, то
         используется метод Галлея.
   \item \(x1\) float, необязательный

         Еще одна оценка корня, которая должна быть где-то рядом с фактическим корнем. Используется, если \(fprime\) не указан.
   \item \(rtol\) ---  float, необязательный

         Допустимое отклонение (относительное) для прерывания работы.
   \item \(full\_output\) --- bool, необязательный

         Если \(full\_output\) имеет значение \verb|False| (по умолчанию),
         возвращается корень. Если \verb|True| и \(x0\) --- скаляр,
         возвращаемое значение равно \verb|(x, r)|, где \(x\) --- это
         корень, а \(r\) --- объект \verb|RootResults|. Если \verb|True|
         и \(x0\) --- не скаляр, возвращаемое значение равно
         \verb|(x, converged, zero_der)|, где:
         \begin{itemize}
            \item converged --- ndarray из значений bool. Указывает, какие элементы сошлись успешно.
            \item zero\_der --- ndarray из значений bool. Указывает, какие элементы имеют нулевую производную.
         \end{itemize}
   \item \(disp\) --- bool, необязательный

         Если \verb|True| и алгоритм не сошелся, будет сгенерировано исключение \verb|RuntimeError|, с сообщением, содержащим количество итераций и текущее значение функции. В противном случае статус сходимости записывается в возвращаемый объект \verb|RootResults|. Игнорируется, если \verb|x0| не является скалярным. Примечание: это не имеет ничего общего с отображением, однако ключевое слово \verb|disp| нельзя переименовать для сохранения обратной совместимости.
\end{enumerate}

\subsection{Метод простой итерации}
\chapter{Экспериментальное исследование возможностей библиотек}

\chapter*{Заключение}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Заключение}

\input{sources}
\include{appendix}
\end{document}
