main.tex

@@ -219,8 +219,8 @@
          и \(x0\) --- не скаляр, возвращаемое значение равно
          \verb|(x, converged, zero_der)|, где:
          \begin{itemize}
-            \item converged --- ndarray из значений bool. Указывает, какие элементы сошлись успешно.
-            \item zero\_der --- ndarray из значений bool. Указывает, какие элементы имеют нулевую производную.
+            \item converged --- \verb|ndarray| из значений bool. Указывает, какие элементы сошлись успешно.
+            \item zero\_der --- \verb|ndarray| из значений bool. Указывает, какие элементы имеют нулевую производную.
          \end{itemize}
    \item \(disp\) --- bool, необязательный
 
@@ -904,7 +904,8 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
 и ограничений поставленной перед исследователем задачи.
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 В библиотеке scipy существует множество реализаций данного метода,
-которые отличаются используемым видом сплайна. В модуле
+которые отличаются используемым видом сплайна а также поддерживаемой
+размерностью функции. В модуле
 \textbf{scipy.interpolate} описаны следующие объекты
 \cite{links:scipy_doc}:
 \begin{enumerate}
@@ -912,8 +913,9 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
    \item класс \textbf{PchipInterpolator};
    \item класс \textbf{CubicHermiteSpline};
    \item класс \textbf{Akima1DInterpolator};
-   \item класс \textbf{RectBivariateSpline}, используется для многомерной
-   \item интерполяции;
+   \item классы \textbf{RectBivariateSpline},
+         \textbf{LSQBivariateSpline}, используются для многомерной
+         интерполяции;
    \item функция \textbf{interp1d}, которая может интерполировать таблично
          заданную функцию разными методами, в т.ч. сплайн-интерполяцией.
          Признана устаревшей и поэтому не будет рассмотрена;
@@ -964,13 +966,11 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
          Одномерный массив, содержащий значения независимой переменной.
          Значения должны быть действительными, конечными числами и
          находиться в строго возрастающем порядке.
-
    \item \(y\) --- array\_like
 
          Массив, содержащий значения зависимой переменной. Он может
          иметь произвольное количество измерений, но длина должна
          совпадать с длиной \(x\). Значения должны быть конечными.
-
    \item \(axis\) int, необязательный
 
          Ось, вдоль которой предполагается изменение y. Это означает,
@@ -989,19 +989,16 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
                   сегменты на конце кривой представляют собой один и тот
                   же полином. Это хороший вариант по умолчанию, когда нет
                   информации о граничных условиях.
-
             \item \verb|"periodic"|: Предполагается, что интерполируемые
                   функции являются периодическими с периодом
                   \(x[-1] \ \mbox {---}\ x[0]\).
                   Первое и последнее значение y должны быть идентичными:
                   \(y[0] == y[-1]\). Это граничное условие приведет к
                   тому, что \(y'[0] == y'[-1]\) и \(y''[0] == y''[-1]\).
-
             \item \verb|"clamped"|: Первая производная на концах кривых
                   равна нулю. Предполагая, что y одномерный,
                   \(bc\_type=((1, 0.0), (1, 0.0))\) --- то же самое
                   условие.
-
             \item \verb|"natural"|: Вторая производная на концах кривой
                   равна нулю. Предполагая, что y одномерный,
                   \(bc\_type=((2, 0.0), (2, 0.0))\) --- то же самое
@@ -1017,7 +1014,6 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
 
          \begin{itemize}
             \item \(order\): порядок производной --- 1 или 2.
-
             \item \(deriv\_value\): array\_like
 
                   Содержит значения производной, форма должна быть такой
@@ -1028,7 +1024,6 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
                   \(axis=1\), то \(deriv\_values\) должно быть
                   двухмерным и иметь форму \((n0, n2)\).
          \end{itemize}
-
    \item \(extrapolate\) --- {bool, \verb|"periodic"|,
          \verb|None|}, необязательный
 
@@ -1041,29 +1036,385 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
          значение \verb|True| в противном случае.
 \end{enumerate}
 
-Конструктор экземпляра класса \textbf{PchipInterpolator} имеет следующие
-параметры:
+Класс \textbf{PchipInterpolator} представляет из себя кубический
+эрмитов сплайн, поэтому является дочерним классом
+\textbf{CubicHermiteSpline}. Конструктор экземпляра класса имеет
+следующие параметры:
 \begin{enumerate}
-   \item
+   \item \(x\) --- ndarray, вида (xlen,1), то есть одномерный
+
+         Одномерный массив монотонно возрастающих действительных
+         значений. Не может включать повторяющиеся значения (иначе
+         сплайн будет слишком конкретизированный)
+   \item \(y\) --- ndarray, вида (...,xlen,...)
+
+         N-мерный массив действительных значений. Длина \(y\) по оси
+         интерполяции должна быть равна длине \(x\). Используйте
+         параметр \(axis\), чтобы выбрать ось интерполяции.
+   \item \(axis\) int, необязательный
+
+         См. описание одноименного метода родительского класса.
+   \item \(extrapolate\) --- bool, необязательный
+
+         Определяет, следует ли экстраполировать точки,
+         которые выходят за пределы границ, установленные первым и
+         последним интервалами или возвращать \verb|NaN|.
+         По умолчанию \verb|None|, значение см. в пункте
+         \ref{list:CubicHermiteSpline-extrapolate} описания
+         конструктора родительского класса.
 \end{enumerate}
 
 Конструктор экземпляра класса \textbf{CubicHermiteSpline} имеет следующие
 параметры:
 \begin{enumerate}
-   \item
+   \item \(x\) --- array\_like, вида (n,), то есть одномерный
+
+         Одномерный массив, содержащий значения независимой переменной. Значения должны быть действительными, конечными и находиться в строго возрастающем порядке.
+   \item \(y\) --- array\_like
+
+         Массив, содержащий значения зависимой переменной.
+         Он может иметь произвольное количество измерений, но длина по
+         оси \(axis\) должна совпадать с длиной \(x\).
+         Значения должны быть конечными.
+   \item \(dydx\) --- array\_like
+
+         Массив, содержащий производные зависимой переменной. Он может
+         иметь произвольное количество измерений, но длина по оси
+         \(axis\) должна совпадать с длиной \(x\). Значения должны быть
+         конечными.
+   \item \(axis\) --- int, необязательный
+
+         Ось, вдоль которой предполагается изменение y. Это означает, что для \(x[i]\) соответствующие значения равны
+         \verb|np.take(y, i, axis=axis)|.
+         По умолчанию --- 0.
+   \item \(extrapolate\) --- {bool, \verb|"periodic"|,
+         \verb|None|}, необязательный
+
+         Если bool, определяет, следует ли экстраполировать точки,
+         которые выходят за пределы границ, установленные первым и
+         последним интервалами или возвращать \verb|NaN|. Если
+         \verb|"periodic"|, используется периодическая экстраполяция.
+         Если \verb|None| (по умолчанию), используйте метод \textbf{extrapolate}
+         этого класса.
+         \label{list:CubicHermiteSpline-extrapolate}
 \end{enumerate}
 
 Конструктор экземпляра класса \textbf{Akima1DInterpolator} имеет
 следующие параметры:
 \begin{enumerate}
-   \item
+   \item \(x\) --- ndarray, вида (n, 1)
+
+         Одномерный массив монотонно возрастающих действительных
+         значений.
+   \item \(y\) --- ndarray, вида (..., n, ...)
+
+         N-мерный массив реальных значений. Длина \(y\) по оси
+         интерполяции должна быть равна длине \(x\). Используйте
+         параметр \(axis\), чтобы выбрать ось интерполяции.
+   \item \(axis\) --- int, необязательный
+
+         Ось в массиве \(y\), соответствующая значениям координаты
+         \(x\). По умолчанию --- 0.
 \end{enumerate}
 
-
 \subsection{Сглаживание. Метод наименьших квадратов}
+С помощью метода наименьших квадратов (далее, МНК) осуществляется
+интерполяция функции с помощью сглаживания.
 \subsubsection{Описание метода}
-\subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+Задача метода --- минимизировать отклонение от исходных данных:
+\begin{equation}
+   S = \sum_{i=1}^{n}(\widetilde{y}(x_i,a)-y_i)^2 \rightarrow \min
+   \label{formula:mnk}
+\end{equation}
+где \(a\) --- неизвестные параметры; \(n\) --- количество известных
+пар значений (\(x,y\)); \(x_i,y_i\) --- значения \(i\) пары.
 
+В качестве \(\widetilde{y}(x)\) необходимо выбрать функцию вида,
+который лучше всего подходит под исходные данные. Этот процесс
+называют выбором зависимости.
+
+Примеры зависимостей (\(a,b,c,d\) --- неизвестные параметры):
+\begin{alignat*}{2}
+    & ax + b        & \  & \text{--- линейная};         \\
+    & ax^2 + bx + c & \  & \text{--- полиномиальная};   \\
+    & a \ln(x) + b  & \  & \text{--- логарифмическая};  \\
+    & be^{ax}       & \  & \text{--- экспоненциальная};
+\end{alignat*}
+
+В результате подстановки выбранной зависимости и известных данных
+в (\ref{formula:mnk}) задача минимизации сводится к нахождению
+экстремумов функции \(S(a)\), и выбору подходящего из них.
+\subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+В модуле \textbf{scipy.optimize} библиотеки scipy существует
+несколько реализаций данного метода, каждая из которых имеет свою
+специализацию.
+\begin{enumerate}
+   \item \textbf{curve\_fit} --- функция, предназначенная для поиска
+         значения параметра \(a\) произвольной зависимости \(\widetilde
+         {y}(x_i,a)\), при котором выполняется условие
+         (\ref{formula:mnk}).
+   \item \textbf{least\_squares} --- функция, которая отличается от
+         \textbf{curve\_fit} возможностью задать собственный критерий
+         близости, область допустимых решений; позволяет задать больше
+         параметров точности.
+   \item \textbf{leastsq} --- функция, которая является устаревшей
+         версией \textbf{least\_squares}, поэтому ее подробного
+         рассмотрения не будет.
+   \item \textbf{lsq\_linear} --- функция, предназначенная для
+         минимизации выражения \(||ax-b||^2\), где \(a,b\) --- матрицы
+         параметров; функция \textbf{nnls} отличается от нее
+         ограничением на положительность искомых значений.
+\end{enumerate}
+
+Функция \textbf{curve\_fit} имеет следующий набор параметров:
+\begin{enumerate}
+   \item \(f\) --- callable
+
+         Модельная функция \(f(x,\dots)\). Она должен принимать независимую переменную в качестве первого аргумента, а параметры --- в качестве оставшихся.
+   \item \(xdata\) --- array\_like
+
+         Значения независимой переменной. Обычно это должна быть последовательность длины \(M\) или массив \((k,M)\)-образной формы для функций с \(k\) предикторами, и каждый элемент должен быть конвертируемым в \(float\), если это объект, подобный массиву.
+   \item \(ydata\) --- array\_like
+
+         Значения зависимой переменной, массив длиной M.
+         При найденных параметрах \(f\) совпадает с значением
+         \(f(xdata, \dots)\).
+   \item \(p0\) --- array\_like, необязательный
+
+         Начальное значение параметров \(f\) (длины N). Если
+         \verb|None| (значение по умолчанию), то все начальные
+         значения будут равны \verb|1| (если количество параметров
+         функции можно определить с помощью интроспекции, в противном
+         случае генерируется исключение \verb|ValueError|).
+   \item \(sigma\) --- \verb|None| /  sequence длины M / массив MxM, необязательный
+
+         Задает неопределенность в \(ydata\). Если мы определим
+         остатки как \(r = ydata - f(xdata, *popt)\), то интерпретация
+         значения \(sigma\) будет зависеть от ее количества измерений:
+         \begin{itemize}
+            \item одномерная \(sigma\) должна содержать значения
+                  стандартных отклонений ошибок в \(ydata\). Используется
+                  при вычислении параметра
+                  \verb|chisq = sum((r/sigma)**2)|;
+            \item двухмерная \(sigma\) должна содержать ковариационную
+                  матрицу ошибок в \(ydata\). Используется
+                  при вычислении параметра
+                  \verb|chisq = r.T @ inv(sigma) @ r|.
+         \end{itemize}
+   \item \(absolute\_sigma\) --- bool, необязательный
+
+         Если значение \verb|True|, \(sigma\) используется в абсолютном смысле, и предполагаемая ковариация параметра \(pcov\) отражает эти абсолютные значения.
+
+         Если значение \verb|False| (по умолчанию), имеют значение
+         только относительные величины значений \(sigma\).
+         Ковариационная матрица возвращаемого параметра \(pcov\)
+         основана на масштабировании \(sigma\) постоянным
+         коэффициентом. Эта константа устанавливается требованием, чтобы
+         приведенный выше \(chisq\) для параметров
+         \(popt\) при использовании масштабированной \(sigma\) был равен
+         единице. Другими словами, \(sigma\) масштабируется так, чтобы
+         соответствовать выборочной дисперсии остатков после подгонки.
+         Математически,
+         \verb|pcov(absolute_sigma=False) = pcov(absolute_sigma=True)|
+         \verb| * chisq(popt)/(M-N)|.
+   \item \(check\_finite\) --- bool, необязательный
+
+         Если \verb|True|, то входные массивы проверяются на содержание
+         значений \verb|NaN| или \verb|Inf|, и если они содержат, то
+         генерируется исключение \verb|ValueError|.
+
+         Значение \verb|False| может привести к выдаче бессмысленных
+         результатов, если входные массивы содержат \verb|NaN|.
+
+         По умолчанию установлено значение \verb|True|, если
+         \(nan\_policy\) не указано явно, и значение \verb|False| в
+         противном случае.
+   \item \(bounds\) --- tuple из двух array\_like / \verb|Bounds|,
+         необязательный
+
+         Нижняя и верхняя границы параметров \(f\). По умолчанию нет ограничений. Есть два способа указать границы:
+         \begin{itemize}
+            \item через экземпляр класса \verb|Bounds|;
+
+            \item \verb|tuple| из двух array\_like, где каждый элемент
+                  кортежа должен быть либо массивом с длиной, равной
+                  количеству параметров, либо скаляром (в этом случае
+                  граница считается одинаковой для всех параметров).
+                  Используйте \verb|np.inf| с соответствующим знаком,
+                  чтобы отключить ограничения для всех или некоторых
+                  параметров.
+         \end{itemize}
+   \item \(method\) --- \{\verb|"lm"|, \verb|"trf"|, \verb|"dogbox"|\}, необязательный
+
+         Метод, используемый для вычисления параметров. См. описание
+         аналогичного параметра функции \textbf{least\_squares} для
+         получения более подробной информации. По умолчанию используется
+         \verb|"lm"| для задач без ограничений и \verb|"trf"|, если
+         указано значение \(bounds\).
+   \item \(jac\) --- callable / string / \verb|None|, необязательный
+
+         Функция с сигнатурой \(jac(x, ...)\), которая вычисляет матрицу
+         Якоби модельной функции относительно параметров как плотную
+         array\_like структуру. Он будет масштабироваться в
+         соответствии с предоставленным параметром \(sigma\). Если
+         \verb|False| (по умолчанию), якобиан будет оцениваться
+         численно. Строковые ключевые слова для методов \verb|"trf"| и
+         \verb|"dogbox"| можно использовать для выбора
+         конечно-разностной схемы, см. описание
+         \textbf{least\_squares}.
+   \item \(full\_output\) --- boolean, необязательный
+
+         Если значение = \verb|True|, эта функция возвращает дополнительную информацию: \(infodict\), \(mesg\) и \(ier\). По умолчанию
+         \verb|False|.
+   \item \(nan\_policy\) --- {\verb|"raise"|, \verb|"omit"|, \verb|None|}, необязательный
+
+         Определяет, как действовать, если входные данные содержат nan. Доступны следующие параметры (по умолчанию — \verb|None|):
+         \begin{itemize}
+            \item \verb|"raise"|: выдает ошибку
+
+            \item  \verb|"omit"|: выполняет вычисления, игнорируя
+                  значения \verb|NaN|.
+
+            \item  \verb|None|: никакая специальная обработка \verb|NaN|
+                  не выполняется (кроме того, что делается с помощью
+                  \(check\_finite\)); поведение при наличии
+                  \verb|NaN| зависит от реализации и может измениться.
+
+         \end{itemize}
+         Обратите внимание: если значение указано явно (не \verb|None|),
+         для \(check\_finite\) будет установлено значение \verb|False|.
+   \item \(**kwargs\)
+
+         Именованные параметры, которые передаются в \textbf{leastsq}
+         для \(method\)='lm' или \textbf{least\_squares} в противном
+         случае.
+\end{enumerate}
+Данная функция возвращает результат в виде
+\((popt,pcov,infodict,mesg,ier)\), где
+\begin{enumerate}
+   \item \(popt\) --- вычисленные параметры
+         \(f\), при которых выполняется условие
+         \(f(xdata, *popt) - ydata \rightarrow \min\).
+   \item \(pcov\) --- 2-D array
+
+         Вычисленная приблизительная ковариация \(popt\).
+   \item  \(infodict\) --- dict
+
+         По ключу \(nfev\)
+         хранится значение количества вызовов функции. Методы \("trf"\)
+         и \("dogbox"\) не учитывают вызовы функций для численной
+         аппроксимации якобиана, в отличие от метода \("lm"\).
+         По ключам \(fvec\), \(fjac\), \(ipvt\), \(qtf\) можно получить
+         дополнительную информацию о работе алгоритма.
+   \item \(mesg\) --- str
+
+         Cтроковое сообщение с информацией о решении.
+   \item \(ier\) --- int
+
+         Целочисленный флаг. Если он равен 1, 2, 3 или 4, решение
+         найдено. В противном случае решение не было найдено. \(mesg\)
+         предоставляет дополнительную информацию о решении.
+\end{enumerate}
+Разработчики отмечают, что входные данные \(xdata\), \(ydata\) и
+выходные данные \(f\) должны иметь формат \(float64\), иначе данная
+функция может вернуть неверные результаты \cite{links:scipy_doc}.
+
+Функция \textbf{least\_squares} предназначена для решения следующей
+задачи минимизации \(F(x)\), где
+\verb|F(x) = 0.5 * sum(rho(f_i(x)**2), i = 0, ..., m - 1)|
+при ограничениях \(lb \leq x \leq ub\). То есть, \(f\) должна принимать
+на вход значение параметров \(a\) и возвращать значение \(f(x,a) - y\).
+
+Данная функция имеет следующий набор параметров:
+\begin{enumerate}
+   \item \(fun\) --- callable
+         Функция, которая вычисляет вектор остатков, имеет сигнатуру
+         \(fun(x, *args, **kwargs)\), т.е. минимизация продолжается
+         относительно ее первого аргумента. Аргумент \(x\),
+         передаваемый этой функции, представляет собой N-мерный массив размерности \((N,K)\) (никогда не скаляр, даже для \(N=1\)). \(fun\) должна вернуть одномерный массив типа array \((m,)\) или скаляр. Если \(x \in \textbf{C}\) или функция \(fun\) возвращает комплексные числа, ее необходимо обернуть действительнозначной функцией от действительнозначных аргументов.
+   \item \(x_0\) --- array\_like размерности (N,K) / float
+
+         Начальное значение \(x\). Если параметр имеет тип float, он
+         будет рассматриваться как одномерный массив с одним элементом.
+   \item \(jac\) --- \{\verb|"2-point"|, \verb|"3-point"|, \verb|"cs"|, callable\}, необязательный
+
+         Метод вычисления матрицы Якоби (матрица размером \(m \times  n\), где элемент \((i, j)\) является частной производной f[i] по x[j]). Ключевые слова выбирают схему конечных разностей для числовой оценки. Схема \verb|"3-point"| более точная, но требует в два раза больше операций, чем \verb|"2-point"| (по умолчанию). Схема \verb|"cs"| использует комплексные шаги и, хотя потенциально является наиболее точной, она применима только тогда, когда \(fun\) правильно обрабатывает комплекснозначные входные данные и может быть аналитически продолжена на комплексную плоскость. \(method\) \verb|"lm"| всегда использует схему \verb|"2-point"|. Если параметр имеет тип \verb|callable|, он используется как \verb|jac(x, *args, **kwargs)| и должен возвращать хорошее приближение (или точное значение) для якобиана в виде array\_like (к выводу \(jac\) будет применен \verb|np.atleast_2d|), разреженной матрицы (предпочтительна \verb|csr_matrix| для производительности) или \verb|scipy.sparse.linalg.LinearOperator|.
+   \item \(bounds\) --- tuple из 2 array\_like / \verb|Bounds|, необязательный
+
+         Есть два способа указать границы:
+         \begin{itemize}
+            \item через экземпляр класса \verb|Bounds|;
+
+            \item \verb|tuple| из двух array\_like, где каждый элемент
+                  кортежа должен быть либо массивом с размерностью
+                  \(x0\), либо скаляром (в этом случае
+                  граница считается одинаковой для всех параметров).
+                  Используйте \verb|np.inf| с соответствующим знаком,
+                  чтобы отключить ограничения для всех или некоторых
+                  параметров.
+         \end{itemize}
+   \item \(method\) --- \{\verb|"lm"|, \verb|"trf"|, \verb|"dogbox"|\}, необязательный
+
+         Допустимое отклонение на завершение по норме градиента.
+         По умолчанию --- 1e-8. Точное состояние зависит от используемого
+         значения \(method\):
+         \begin{itemize}
+            \item Для \verb|"trf"|: \(norm(g\_scaled, ord=np.inf) < gtol\), где \(g\_scaled\) --- значение градиента, масштабированное для учета наличия границ.
+            \item Для \verb|"dogbox"|: \(norm(g_free, ord=np.inf) < gtol\), где \(g_free\) --- градиент по отношению к переменным, которые не находятся в оптимальном состоянии на границе.
+            \item Для \verb|"lm"|: максимальное абсолютное значение косинуса углов между столбцами якобиана и вектором невязки меньше \(gtol\), или вектор невязки равен нулю.
+         \end{itemize}
+
+         Если \verb|None| и \(method\) не \verb|"lm"|, завершение по этому условию отключено. Если \(method\) --- \verb|"lm"|, этот допуск должен быть выше, чем машинный эпсилон.
+   \item \(x\_scale\) --- array\_like / \verb|"jac"|
+
+         Характеристический масштаб каждой переменной.
+         Установка \(x\_scale\) эквивалентна переформулировке проблемы
+         в масштабированных переменных \(xs = x/x\_scale\).
+         Альтернативная точка зрения состоит в том, что размер
+         доверительной области по j-му измерению пропорционален
+         \(x\_scale[j]\). Улучшения сходимости можно достичь, установив
+         \(x\_scale\) таким образом, чтобы шаг заданного размера по
+         любой из масштабируемых переменных имел аналогичный эффект на
+         функцию стоимости. Если установлено значение \verb|"jac"|,
+         масштаб итеративно обновляется с использованием обратных норм
+         столбцов матрицы Якоби.
+   \item \(loss\) --- str / callable, необязательный
+
+         Определяет функцию потерь. Допускаются следующие значения ключевых слов:
+         \begin{itemize}
+            \item \verb|"linear"| (по умолчанию) : \verb|rho(z) = z|. Дает стандартную задачу наименьших квадратов.
+            \item \verb|"soft_l1"| : \verb|rho(z) = 2 * ((1 + z)**0.5 - 1)|. Гладкая аппроксимация потерь l1 (абсолютное значение). Обычно хороший выбор для надежного метода наименьших квадратов.
+            \item \verb|"huber"| : \verb|rho(z) = z if z <= 1 else 2*z**0.5 - 1|. Работает аналогично \verb|"soft_l1"|.
+            \item \verb|"cauchy"| : \verb|rho(z) = ln(1 + z)|. Сильно ослабляет влияние выбросов, но может вызвать трудности в процессе оптимизации.
+            \item \verb|"arctan"| : \verb|rho(z) = arctan(z)|. Ограничивает максимальный убыток по одному остатку, имеет свойства, аналогичные \verb|"cauchy"|.
+         \end{itemize}
+
+         Если параметр имеет тип \verb|callable|, он должен принимать
+         одномерный \verb|ndarray| \verb|z=f**2| и возвращать
+         array\_like с формой \((3, m)\), где строка 0 содержит значения функции, строка 1 содержит первые производные, а строка 2 содержит вторые производные. \(method\) \verb|lm| поддерживает только \verb|"linear"| \(loss\).
+
+   \item \(f\_scale\) --- float, необязательный
+
+         Значение границы между ошибками данных и выбросами в данных,
+         по умолчанию - 1,0. Значение функции потерь оценивается
+         следующим образом: \verb|rho_(f**2) = C**2 * rho(f**2 / C**2)|,
+         где C --- это \(f\_scale\), а \(rho\) определяется параметром
+         \(loss\). Этот параметр не имеет никакого эффекта при
+         \(loss\)=\verb|"linear"|, но для других значений потерь он имеет решающее
+         значение.
+   \item \(max\_nfev\) --- \verb|None| / int, необязательный
+
+         Максимальное количество выполнений функции перед завершением работы. Если \verb|None| (по умолчанию), значение выбирается автоматически:
+         \begin{itemize}
+            \item Для  \verb|"trf"| и  \verb|"dogbox"|: \(100 \cdot n\).
+
+            \item Для \verb|"lm"|: \(100 \cdot n\), если \(jac\) является вызываемым, и \(100 \cdot n \cdot (n + 1)\) в противном случае (поскольку \verb|"lm"| учитывает вызовы функций в оценке Якобиана).
+         \end{itemize}
+   \item \(diff\_step\) --- \verb|None| / array\_like, необязательный
+   
+   
+   \item 
+\end{enumerate}
 \section{Численное интегрирование}
 \subsection{Метод прямоугольников}
 \subsubsection{Описание метода}