main.tex

@@ -1,6 +1,9 @@
 \input{vars}
 \input{config}
 
+\NewDocumentCommand{\MFArgs}
+  {}{x^{(p)}_1,x^{(p)}_2,x^{(p)}_3,\dots,x^{(p)}_n}
+
 \begin{document}
 \lstset{language=[11]C++}
 
@@ -590,7 +593,7 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
 \subsubsection{Описание метода}
 Для матрицы СЛУ (\ref{formula:eqn_matrix_system}) размеров
 \(n \times n\), и начального приближения \(x^{(0)}\) приближенное
-решение на итерации \(p, p = 1,2,3,\dots,k,k+1\) вычисляется по
+решение на итерации \(p, p = 1,2,3,\dots,k\) вычисляется по
 следующей формуле:
 \begin{equation*}
    x^{(p+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}}
@@ -604,7 +607,7 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
 \ref{formula:eqn_diag_dominant}). Заданная точность достигается
 при выполнении условия:
 \begin{equation}
-   \max_i |x^{(p+1)}_i-x^{(p)_i}| < \varepsilon
+   \max_{i \le i \le n} |x^{(p+1)}_i-x^{(p)}_i| < \varepsilon
    \label{formula:precision_iter_sle}
 \end{equation}
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
@@ -614,7 +617,7 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
 \subsubsection{Описание метода}
 Для матрицы СЛУ (\ref{formula:eqn_matrix_system}) размеров
 \(n \times n\), и начального приближения \(x^{(0)}\) приближенное
-решение на итерации \(p, p = 1,2,3,\dots,k,k+1\) вычисляется по
+решение на итерации \(p, p = 1,2,3,\dots,k\) вычисляется по
 следующей формуле:
 \begin{equation*}
    x^{(p+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}}
@@ -669,26 +672,123 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
    x^{(p+1)}_{i} = f_i(x^{(p)}_1,x^{(p)}_2,\dots,x^{(p)}_n);
    \quad i=1,2,3,\dots,n
 \end{equation}
-где \(p, p = 1,2,3,\dots,k,k+1\) --- номер итерации.
+где \(p, p = 1,2,3,\dots,k\) --- номер итерации.
 
 Заданная точность \(\varepsilon\) достигается выполнением
 следующего условия:
 \begin{equation*}
-   \forall i = 1,2,3,\dots,n;\ 
-   \max_i |x^{(k+1)}_i - x^{(k)}_i | < \varepsilon
+   \max_i |x^{(p+1)}_i - x^{(p)}_i | < \varepsilon; \quad
+   i = 1,2,3,\dots,n
 \end{equation*}
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 Реализаций данного метода в библиотеках numpy, scipy не найдено.
 
 \subsection{Метод Зейделя для систем нелинейных уравнений}
+Данный метод является модификацией предыдущего; отличие состоит в
+условии сходимости и формуле получения приближенного решения.
+
+Ниже будут описаны только вышеперечисленные различия.
 \subsubsection{Описание метода}
+Формула вычисления приближенного решения данного алгоритма следующая:
+\begin{equation*}
+   \begin{aligned}
+       & x^{(p+1)}_{1} = f_1(x^{(p)}_1,x^{(p)}_2,\dots,x^{(p)}_n) \\
+       & x^{(p+1)}_{2} = f_2(x^{(p)}_1,x^{(p)}_2,\dots,x^{(p)}_n) \\
+       & \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots            \\
+       & x^{(p+1)}_{n} = f_n(x^{(p)}_1,x^{(p)}_2,\dots,x^{(p)}_n) \\
+   \end{aligned}
+\end{equation*}
+где \(p, p = 1,2,3,\dots,k\) --- номер итерации.
+
+Данный алгоритм более требователен к точности начального приближения.
+
+Сходимость метода зависит от характера функций исходной системы,
+для определения которого необходимо вычислить значения матрицы
+\begin{equation}
+   F' = \left(
+   \begin{aligned}
+       & f^{'}_{11} \ \ f^{'}_{12} \ \ f^{'}_{13} \ \ \dots \ \  f^{'}_{1n} \\
+       & f^{'}_{21} \ \ f^{'}_{22} \ \ f^{'}_{23} \ \ \dots \ \  f^{'}_{2n} \\
+       & \dots      \ \      \dots \ \      \dots \ \ \dots \ \      \dots  \\
+       & f^{'}_{n1} \ \ f^{'}_{n2} \ \ f^{'}_{n3} \ \ \dots \ \ f^{'}_{nn}  \\
+   \end{aligned}
+   \right)
+\end{equation}
+где \(f^{'}_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}\).
+
+Сходимость метода обеспечивается выполнением следующего условия:
+\vspace{-5mm}
+\begin{equation*}
+   |f^{'}_{i1}| + |f^{'}_{i2}| + |f^{'}_{i3}| + \dots |f^{'}_{in}| < 1;
+   \quad i = 1,2,3,\dots,n
+\end{equation*}
+
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+Реализаций данного метода в библиотеках numpy, scipy не обнаружено.
 
 \subsection{Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений}
 \subsubsection{Описание метода}
+На каждой итерации \(p, p = 1,2,3,\dots,k\) вычисляются значения
+\(\Delta x^{(p)}_1, \Delta x^{(p)}_2, \Delta x^{(p)}_3, \dots,
+\Delta x^{(p)}_n \).
+
+Для этого исходная система уравнений раскладывается в ряд Тейлора по
+\(\Delta x^{(p)}_1, \Delta x^{(p)}_2, \Delta x^{(p)}_3, \dots,
+\Delta x^{(p)}_n \). Сохранив линейные по данным значениям части, получим
+СЛУ:
+\begin{equation}
+   \begin{aligned}
+       & \splitdfrac{\frac{\partial F_1(\MFArgs)}{\partial x_1} \Delta x^{(p)}_1 +
+         \frac{\partial F_1(\MFArgs)}{\partial x_2} \Delta x^{(p)}_2 + \dots +}
+      {\frac{\partial F_1(\MFArgs)}{\partial x_n} \Delta x^{(p)}_n = -F_1(\MFArgs)}  \\
+       & \splitdfrac{\frac{\partial F_2(\MFArgs)}{\partial x_1} \Delta x^{(p)}_1 +
+         \frac{\partial F_2(\MFArgs)}{\partial x_2} \Delta x^{(p)}_2 + \dots +}
+      {\frac{\partial F_2(\MFArgs)}{\partial x_n} \Delta x^{(p)}_n = -F_2(\MFArgs)}  \\
+       & \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\
+       & \splitdfrac{\frac{\partial F_n(\MFArgs)}{\partial x_1} \Delta x^{(p)}_1 +
+         \frac{\partial F_n(\MFArgs)}{\partial x_2} \Delta x^{(p)}_2 + \dots +}
+      {\frac{\partial F_n(\MFArgs)}{\partial x_n} \Delta x^{(p)}_n = -F_n(\MFArgs)}  \\
+   \end{aligned}
+   \label{formula:SnLE-Newton-sys}
+\end{equation}
+Данную систему можно решить любым наиболее подходящим с учетом доступных
+ресурсов методом.
+
+Решением СЛУ (\ref{formula:SnLE-Newton-sys}) будет вектор
+\(\Delta X^{(p)} = (\MFArgs)\). После этого, приближенное решение
+исходной задачи находится по формуле
+\(X^{(p+1)} = X^{(p)} + \Delta X^{(p)}\).
+
+Заданная точность достигается выполнением условия
+(\ref{formula:precision_iter_sle}). Стоит учитывать, что данный метод
+так же, как и предыдущий, требователен к точности начального приближения.
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+Реализаций данного алгоритма в библиотеках numpy, scipy не найдено,
+кроме того, для его работы требуется нахождение частных производных.
+
+Для поиска частной производной в scipy есть функция \textbf{derivative}
+в модуле \textbf{scipy.misc}, но она отмечена устаревшей и будет
+удалена в версии 1.12.0, поэтому реализация данного метода с помощью
+применения функций общей направленности библиотеки рассматриваться
+не будет.
 
 \section{Аппроксимация функций}
+Иногда значения некоторой функциональной зависимости
+\(y= \widetilde{y}(x) \) известны для отдельных пар значений
+\((x_i,y_i)\).
+
+Задача восстановления аналитической функции \(\widetilde{y}\)
+по отдельным парам значений называется аппроксимацией.
+Для получения ее однозначного решения необходимо задать общий вид
+функции, включающей коэффициенты, и затем эти коэффициенты определить
+с помощью подходящего метода.
+
+Для определения коэффициентов существует два основных подхода ---
+интерполяция (когда \(y_i = \widetilde{x_i}\)), и сглаживание, когда
+требуется лишь минимизировать отклонение от известных значений.
+
+Первые три метода решают поставленную задачу с помощью интерполяции,
+последний --- с помощью сглаживания.
 \subsection{Интерполяционный полином в форме Лагранжа}
 \subsubsection{Описание метода}
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}