main.tex

@@ -1,5 +1,6 @@
 \input{vars}
 \input{config}
+\sloppy
 
 \NewDocumentCommand{\MFArgs}
   {}{x^{(p)}_1,x^{(p)}_2,x^{(p)}_3,\dots,x^{(p)}_n}
@@ -859,30 +860,206 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
 и т.д.
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 Реализаций данного метода в в библиотеках numpy, scipy не найдено.
+
 \subsection{Сплайн-интерполяция}
+Перед рассмотрением метода необходимо ввести понятие интерполяционного
+сплайна. Это кусочно-заданная функция, каждый фрагмент которой является
+непрерывной функцией, и на концах его значение совпадает с известными
+значениями функции.
+
+Иногда выбирают фрагменты сплайна такого вида, что непрерывными будут и их
+производные, вплоть до нужного порядка (например, если в роли сплайнов
+выбрать полиномы 3 степени, то они будут соответствовать условиями
+непрерывности вместе с 1 и 2 производными). В зависимости от цели,
+на сплайны могут быть наложены и иные ограничения. Также, для упрощения
+вычислений, чаще всего все фрагменты сплайна --- функции из одного
+класса, например, многочленов фиксированной степени.
 \subsubsection{Описание метода}
-Между парами значений \((x_{i-1},y_{i-1}),(x_i,y_i)\) строятся
-функции-сплайны \(f_1(x),\dots,f_n(x)\), соответствущие условиям
+Между парами значений \((x_{l(j-1)},y_{l(j-1)}),(x_{l(j)},y_{l(j)})\),
+где \(l \in \textbf{N}, 0 \le l_j \le n\) строятся
+фрагменты сплайна \(f_1(x),\dots,f_n(x)\), соответствущие условиям
 непрерывности. Комбинация таких функций образует исходную:
 \begin{equation*}
    \widetilde{y}(x) = \left\{
    \begin{aligned}
-       & f_1(x),\; x_0 \le x < x_1     \\
-       & f_2(x),\; x_1 \le x < x_2     \\
-       & \ \dots \qquad \quad \dots    \\
-       & f_n(x),\; x_{n-1} \le x < x_n \\
+       & f_1(x),\; x_0 \le x < x_l      \\
+       & f_2(x),\; x_{l} \le x < x_{2l} \\
+       & \ \dots \qquad \quad \dots     \\
+       & f_n(x),\; x_{jl} \le x < x_n   \\
    \end{aligned}
    \right.
 \end{equation*}
-
-Иногда выбирают сплайны такого вида, что непрерывными будут и их
-производные, вплоть до нужного порядка (например, если в роли сплайнов
-выбрать полиномы 3 степени, то они будут соответствовать условиями
-непрерывности вместе с 1 и 2 производными). В зависимости от цели,
-на сплайны могут быть наложены и иные ограничения.
+При этом
+\begin{equation*}
+   \begin{aligned}
+       & f_1(x_0) = y_0, f_1(x_l) = y_l       \\
+       & f_2(x_l) = y_l, f_2(x_{2l}) = y_{2l} \\
+       & \ \dots \qquad \quad \dots           \\
+       & f_n(x_{jl}) = y_{jl},f_n(x_n) = y_n  \\
+   \end{aligned}
+\end{equation*}
+Для полиномов 3 степени чаще всего \(l=3\), и в таком случае по \(l\)
+точкам на каждом фрагменте строиться полином (например, интерполяционный
+полином Ньютона). В общем случае \(l\) определяется исходя из условий
+и ограничений поставленной перед исследователем задачи.
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 В библиотеке scipy существует множество реализаций данного метода,
-которые отличаются используемым видом сплайна.
+которые отличаются используемым видом сплайна. В модуле
+\textbf{scipy.interpolate} описаны следующие объекты
+\cite{links:scipy_doc}:
+\begin{enumerate}
+   \item класс \textbf{CubicSpline};
+   \item класс \textbf{PchipInterpolator};
+   \item класс \textbf{CubicHermiteSpline};
+   \item класс \textbf{Akima1DInterpolator};
+   \item класс \textbf{RectBivariateSpline}, используется для многомерной
+   \item интерполяции;
+   \item функция \textbf{interp1d}, которая может интерполировать таблично
+         заданную функцию разными методами, в т.ч. сплайн-интерполяцией.
+         Признана устаревшей и поэтому не будет рассмотрена;
+\end{enumerate}
+
+
+Классы \textbf{CubicSpline}, \textbf{PchipInterpolator},
+\textbf{CubicHermiteSpline}, \textbf{Akima1DInterpolator}
+используются для интерполяции функций одного аргумента, и их
+применение одинаково: для создания сплайна необходимо создать
+экземпляр класса, для получения значений сплайна необходимо
+вызвать созданный экземпляр с необходимыми входными данными
+(то есть вызвать метод \verb|__call__|).
+
+Каждый из классов имеет разное количество параметров, которые
+можно задать при его создании его экземпляра; метод получения
+данных сплайна, в свою очередь, имеет одинаковое количество
+параметров для всех классов, поэтому он имеет смысл описать его сейчас.
+
+Метод \verb|__call__| вышеописанных классов имеет 3 параметра:
+\begin{enumerate}
+   \item \(x\) --- array\_like
+
+         Точки, для которых будет вычислено значения сплайна.
+   \item \(nu\) --- int, необязательный
+
+         Порядок производной сплайна, который необходимо использовать при
+         вычислении значений. Должен быть неотрицательным. По умолчанию
+         --- 0 (то есть вычисляется исходный сплайн).
+   \item \(extrapolate\) --- {bool, \verb|"periodic"|,
+         \verb|None|}, необязательный
+
+         Если bool, определяет, следует ли экстраполировать точки,
+         которые выходят за пределы границ, установленные первым и
+         последним интервалами или возвращать \verb|NaN|. Если
+         \verb|"periodic"|, используется периодическая экстраполяция.
+         Если \verb|None| (по умолчанию), используйте метод \textbf{extrapolate}
+         этого класса.
+\end{enumerate}
+Данный метод возвращает массив значений сплайна, соответствующих значений
+\(x\).
+
+Конструктор экземпляра класса \textbf{CubicSpline} имеет следующие
+параметры:
+\begin{enumerate}
+   \item \(x\) --- array\_like, одномерный
+
+         Одномерный массив, содержащий значения независимой переменной.
+         Значения должны быть действительными, конечными числами и
+         находиться в строго возрастающем порядке.
+
+   \item \(y\) --- array\_like
+
+         Массив, содержащий значения зависимой переменной. Он может
+         иметь произвольное количество измерений, но длина должна
+         совпадать с длиной \(x\). Значения должны быть конечными.
+
+   \item \(axis\) int, необязательный
+
+         Ось, вдоль которой предполагается изменение y. Это означает,
+         что для \(x[i]\) соответствующие значения равны
+         \verb|np.take(y, i, axis=axis)|. По умолчанию --- 0.
+   \item \(bc\_type\) --- string / tuple размера = 2, необязательный
+
+         Тип граничного условия. Два дополнительных уравнения, заданные
+         граничными условиями, необходимы для определения всех
+         коэффициентов многочленов на каждом отрезке.
+
+         Если \(bc\_type\) --- строка, то указанное в параметре условие
+         будет применено к обоим концам сплайна. Доступные условия:
+         \begin{itemize}
+            \item \verb|"not-a-knot"| (по умолчанию): первый и второй
+                  сегменты на конце кривой представляют собой один и тот
+                  же полином. Это хороший вариант по умолчанию, когда нет
+                  информации о граничных условиях.
+
+            \item \verb|"periodic"|: Предполагается, что интерполируемые
+                  функции являются периодическими с периодом
+                  \(x[-1] \ \mbox {---}\ x[0]\).
+                  Первое и последнее значение y должны быть идентичными:
+                  \(y[0] == y[-1]\). Это граничное условие приведет к
+                  тому, что \(y'[0] == y'[-1]\) и \(y''[0] == y''[-1]\).
+
+            \item \verb|"clamped"|: Первая производная на концах кривых
+                  равна нулю. Предполагая, что y одномерный,
+                  \(bc\_type=((1, 0.0), (1, 0.0))\) --- то же самое
+                  условие.
+
+            \item \verb|"natural"|: Вторая производная на концах кривой
+                  равна нулю. Предполагая, что y одномерный,
+                  \(bc\_type=((2, 0.0), (2, 0.0))\) --- то же самое
+                  условие.
+         \end{itemize}
+
+         Если \(bc\_type\) представляет собой кортеж из двух элементов,
+         первое и второе значения будут применены в начале и конце
+         кривой соответственно. Значения кортежа могут быть одной из
+         ранее упомянутых строк (кроме \verb|"periodic"|) или кортежем
+         \((order, deriv\_values)\), позволяющим указывать произвольные
+         производные на концах кривой:
+
+         \begin{itemize}
+            \item \(order\): порядок производной --- 1 или 2.
+
+            \item \(deriv\_value\): array\_like
+
+                  Содержит значения производной, форма должна быть такой
+                  же, как \(y\), за исключением измерения \(axis\).
+                  Например, если \(y\) --- одномерный, то
+                  \(deriv\_values\) должен быть скаляром. Если \(y\)
+                  является трехмерным, имеет форму \((n0, n1, n2)\) и
+                  \(axis=1\), то \(deriv\_values\) должно быть
+                  двухмерным и иметь форму \((n0, n2)\).
+         \end{itemize}
+
+   \item \(extrapolate\) --- {bool, \verb|"periodic"|,
+         \verb|None|}, необязательный
+
+         Если bool, определяет, следует ли экстраполировать точки,
+         которые выходят за пределы границ, установленные первым и
+         последним интервалами или возвращать \verb|NaN|. Если
+         \verb|"periodic"|, используется периодическая экстраполяция.
+         Если \verb|None| (по умолчанию), параметр имеет значение
+         \verb|"periodic"| если \(bc\_type\)=\verb|"periodic"| и
+         значение \verb|True| в противном случае.
+\end{enumerate}
+
+Конструктор экземпляра класса \textbf{PchipInterpolator} имеет следующие
+параметры:
+\begin{enumerate}
+   \item
+\end{enumerate}
+
+Конструктор экземпляра класса \textbf{CubicHermiteSpline} имеет следующие
+параметры:
+\begin{enumerate}
+   \item
+\end{enumerate}
+
+Конструктор экземпляра класса \textbf{Akima1DInterpolator} имеет
+следующие параметры:
+\begin{enumerate}
+   \item
+\end{enumerate}
+
+
 \subsection{Сглаживание. Метод наименьших квадратов}
 \subsubsection{Описание метода}
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}