[content] Add 2 methods, add spline interpolation

config.tex

@@ -182,3 +182,8 @@
 % ОФОРМЛЕНИЕ ТЕКСТА
 \renewcommand{\baselinestretch}{1.5} 
 \MakeOuterQuote{"}
+
+\newenvironment{nospaceflalign*}
+ {\setlength{\abovedisplayskip}{0pt}\setlength{\belowdisplayskip}{0pt}%
+  \csname flalign*\endcsname}
+ {\csname endflalign*\endcsname\ignorespacesafterend}

main.tex

@@ -729,13 +729,14 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
 \subsection{Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений}
 \subsubsection{Описание метода}
 На каждой итерации \(p, p = 1,2,3,\dots,k\) вычисляются значения
-\(\Delta x^{(p)}_1, \Delta x^{(p)}_2, \Delta x^{(p)}_3, \dots,
+\(\Delta x^{(p)}_1,\) \( \Delta x^{(p)}_2, \Delta x^{(p)}_3, \dots,
 \Delta x^{(p)}_n \).
 
 Для этого исходная система уравнений раскладывается в ряд Тейлора по
 \(\Delta x^{(p)}_1, \Delta x^{(p)}_2, \Delta x^{(p)}_3, \dots,
 \Delta x^{(p)}_n \). Сохранив линейные по данным значениям части, получим
 СЛУ:
+
 \begin{equation}
    \begin{aligned}
        & \splitdfrac{\frac{\partial F_1(\MFArgs)}{\partial x_1} \Delta x^{(p)}_1 +
@@ -745,12 +746,16 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
          \frac{\partial F_2(\MFArgs)}{\partial x_2} \Delta x^{(p)}_2 + \dots +}
       {\frac{\partial F_2(\MFArgs)}{\partial x_n} \Delta x^{(p)}_n = -F_2(\MFArgs)}  \\
        & \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\
-       & \splitdfrac{\frac{\partial F_n(\MFArgs)}{\partial x_1} \Delta x^{(p)}_1 +
-         \frac{\partial F_n(\MFArgs)}{\partial x_2} \Delta x^{(p)}_2 + \dots +}
-      {\frac{\partial F_n(\MFArgs)}{\partial x_n} \Delta x^{(p)}_n = -F_n(\MFArgs)}  \\
    \end{aligned}
    \label{formula:SnLE-Newton-sys}
 \end{equation}
+\begin{equation*}
+   \begin{aligned}
+       & \splitdfrac{\frac{\partial F_n(\MFArgs)}{\partial x_1} \Delta x^{(p)}_1 +
+         \frac{\partial F_n(\MFArgs)}{\partial x_2} \Delta x^{(p)}_2 + \dots +}
+      {\frac{\partial F_n(\MFArgs)}{\partial x_n} \Delta x^{(p)}_n = -F_n(\MFArgs)} \\
+   \end{aligned}
+\end{equation*}
 Данную систему можно решить любым наиболее подходящим с учетом доступных
 ресурсов методом.
 
@@ -784,23 +789,100 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
 с помощью подходящего метода.
 
 Для определения коэффициентов существует два основных подхода ---
-интерполяция (когда \(y_i = \widetilde{x_i}\)), и сглаживание, когда
+интерполяция (когда \(\widetilde{y}(x_i) = y_i\)), и сглаживание, когда
 требуется лишь минимизировать отклонение от известных значений.
 
 Первые три метода решают поставленную задачу с помощью интерполяции,
 последний --- с помощью сглаживания.
-\subsection{Интерполяционный полином в форме Лагранжа}
+\subsection{Интерполяционный полином Лагранжа}
 \subsubsection{Описание метода}
-\subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+Для известных пар значений \((x_i,y_i), x_i \in [a,b]; i = 1,2,3,\dots,n\)
+строится полином \(P(x)\), удовлетворяющий условию \(P(x_i) = y_i\).
 
-\subsection{Интерполяционный полином в форме Ньютона}
+Полином \(P(x)\) определяется следующей формулой:
+\begin{equation*}
+   P(x) = L_{n-1}(x) = \sum_{i=1}^{n}y_i\cdot l_i(x)
+\end{equation*}
+\(l_i(x)\) --- фундаментальные полиномы Лагранжа, которые удовлетворяют равенству (\ref{formula:ip-lagr-eq1}), и имеют следующий вид:
+\begin{equation*}
+   l_i(x) = \frac{(x-x_1)\dots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots(x-x_n)}{(x_i-x_1)\dots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots(x_i-x_n)}
+\end{equation*}
+\begin{equation}
+   l_k(x_i) =  \left\{
+   \begin{aligned}
+       & 1, i = k    \\
+       & 0, i \ne k. \\
+   \end{aligned}
+   \right.
+   \label{formula:ip-lagr-eq1}
+\end{equation}
+
+Из формулы полинома видно, что его степень не превышает \(n-1\).
+Данное свойство сохранится и для следующего метода.
+
+\subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+Данный метод реализован в библиотеке scipy в виде функции
+\textbf{lagrange} в модуле \textbf{scipy.interpolate}.
+Одной из ее особенностей является низкая устойчивость --- авторы не
+рекомендуют запускать алгоритм на более чем 20 парах \((x,y)\) входных
+значений \cite{links:scipy_doc}.
+
+Данная функция имеет следующие параметры:
+\begin{enumerate}
+   \item \(x\) --- array\_like
+
+         \(x\) представляет координаты \(x\) набора точек данных.
+   \item \(w\) --- array\_like
+
+         \(w\) представляет координаты \(y\) набора точек данных,
+         т. е. \(f(x)\).
+\end{enumerate}
+
+Данная функция возвращает полином (тип --- \verb|poly1d| из
+библиотеки \textbf{numpy} \cite{links:numpy_doc}).
+
+\subsection{Интерполяционный полином Ньютона}
 \subsubsection{Описание метода}
+Интерполяционный полином Ньютона имеет вид
+\begin{align*}
+   N_{n-1}(x) = \Delta^{0}(x_{1}) + \Delta^{1}(x_{1},x_{2})(x-x_{1}) + \Delta^{2}(x_{1},x_{2},x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2}) + \\
+   + \dots + \Delta^{n-1}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n-1})(x-x_{1})(x-x_{2})\dots(x-x_{n-1})
+\end{align*}
+где \(\Delta^{0}(x_{1})\dots\Delta^{n-1}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n-1})\) ---
+конечные разницы порядка \(0,\dots, n-1\), которые вычисляются следующим
+образом:
+\begin{nospaceflalign*}
+   & \Delta^{0}(x_i) = y_i                                                               & \\
+   & \Delta^{1}(x_i,x_k) = \frac{\Delta^{0}(x_i) - \Delta^{0}(x_k)}{x_i-x_k}             & \\
+   & \Delta^{2}(x_i,x_j,x_k) = \frac{\Delta^{1}(x_i,x_j) - \Delta^{1}(x_j,x_k)}{x_i-x_k}
+\end{nospaceflalign*}
+и т.д.
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
-
+Реализаций данного метода в в библиотеках numpy, scipy не найдено.
 \subsection{Сплайн-интерполяция}
 \subsubsection{Описание метода}
-\subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+Между парами значений \((x_{i-1},y_{i-1}),(x_i,y_i)\) строятся
+функции-сплайны \(f_1(x),\dots,f_n(x)\), соответствущие условиям
+непрерывности. Комбинация таких функций образует исходную:
+\begin{equation*}
+   \widetilde{y}(x) = \left\{
+   \begin{aligned}
+       & f_1(x),\; x_0 \le x < x_1     \\
+       & f_2(x),\; x_1 \le x < x_2     \\
+       & \ \dots \qquad \quad \dots    \\
+       & f_n(x),\; x_{n-1} \le x < x_n \\
+   \end{aligned}
+   \right.
+\end{equation*}
 
+Иногда выбирают сплайны такого вида, что непрерывными будут и их
+производные, вплоть до нужного порядка (например, если в роли сплайнов
+выбрать полиномы 3 степени, то они будут соответствовать условиями
+непрерывности вместе с 1 и 2 производными). В зависимости от цели,
+на сплайны могут быть наложены и иные ограничения.
+\subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+В библиотеке scipy существует множество реализаций данного метода,
+которые отличаются используемым видом сплайна.
 \subsection{Сглаживание. Метод наименьших квадратов}
 \subsubsection{Описание метода}
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}