[content] Rename refs. Fix formulas. Add SnLE method

main.tex

@@ -235,10 +235,15 @@
 уравнения за исполнение алгоритма на единственном начальном приближении.
 \subsubsection{Описание метода}
 Уравнение \(F(x)=0\) приводим к виду \(x = \varphi(x)\), например
-\(x-F(x)/M\), где \(M\) --- константа.
+\(x = x-F(x)/M\), где \(M\) --- константа.
 
 Условие сходимости алгоритма: \(0<|\varphi'(x)|<1\). Исходя из него,
-\(M\) определяется как \(M=1.01 \cdot F'(x_0)\), где \(x_0\) ---
+\(M\) определяется как
+\begin{equation}
+   M=1.01 \cdot F'(x_0)
+   \label{formula:stab_simpleiter}
+\end{equation}
+где \(x_0\) ---
 начальное приближение.
 
 Таким образом, для итерации \(i, i = 1\dots k,\)
@@ -261,7 +266,7 @@
        & a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + a_{nn}x_n = b_n  \\
    \end{aligned}
    \right.
-   \label{formula:eqn_system}
+   \label{formula:SLE}
 \end{eqnarray}
 СЛУ также представима в матричной форме \(AX=B\), где \(A,X,B\) имеют
 следующий вид:
@@ -303,7 +308,7 @@
 будет обозначено как \(x^{(0)}\).
 \subsection{Метод Гаусса}
 \subsubsection{Описание метода}
-Для решения СЛУ система (\ref{formula:eqn_system}) приводится к
+Для решения СЛУ система (\ref{formula:SLE}) приводится к
 треугольному виду (\ref{formula:triag_eqn_system}) с помощью цепочки элементарных преобразований.
 \begin{eqnarray}
    \left\{
@@ -382,7 +387,7 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
 
 \subsection{Метод обратной матрицы}
 \subsubsection{Описание метода}
-Исходная система (\ref{formula:eqn_system}) представляется в форме
+Исходная система (\ref{formula:SLE}) представляется в форме
 \(AX=B\), тогда вектор неизвестных переменных \(X\) определяется по
 формуле (\ref{formula:inv_m_method}).
 \begin{equation}
@@ -585,7 +590,7 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
 \subsubsection{Описание метода}
 Для матрицы СЛУ (\ref{formula:eqn_matrix_system}) размеров
 \(n \times n\), и начального приближения \(x^{(0)}\) приближенное
-решение на итерации \(p, p = 1,2,\dots,k,k+1\) вычисляется по
+решение на итерации \(p, p = 1,2,3,\dots,k,k+1\) вычисляется по
 следующей формуле:
 \begin{equation*}
    x^{(p+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}}
@@ -609,7 +614,7 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
 \subsubsection{Описание метода}
 Для матрицы СЛУ (\ref{formula:eqn_matrix_system}) размеров
 \(n \times n\), и начального приближения \(x^{(0)}\) приближенное
-решение на итерации \(p, p = 1,2,\dots,k,k+1\) вычисляется по
+решение на итерации \(p, p = 1,2,3,\dots,k,k+1\) вычисляется по
 следующей формуле:
 \begin{equation*}
    x^{(p+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}}
@@ -627,10 +632,53 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
 Реализаций данного алгоритма в библиотеках numpy, scipy не найдено.
 
 \section{Численные методы решения систем нелинейных уравнений}
+Система нелинейных уравнений имеет следующий вид:
+\begin{equation}
+   \begin{aligned}
+       & F_1(x_1,x_2,\dots,x_n) = 0     \\
+       & F_2(x_1,x_2,\dots,x_n) = 0     \\
+       & \dots\dots\dots\dots\dots\dots \\
+       & F_n(x_1,x_2,\dots,x_n) = 0     \\
+   \end{aligned}
+   \label{formula:SnLE}
+\end{equation}
+
+Для решения данной системы далее будет описано несколько итерационных
+методов. Для каждого их них требуется начальное приближение
+\(X^{(0)} = \{x^{(0)}_1,x^{(0)}_2,\dots x^{(0)}_n\}\).
+
 \subsection{Метод простой итерации (метод Якоби) для систем
    нелинейных уравнений}
 \subsubsection{Описание метода}
+Для каждого из уравнений системы (\ref{formula:SnLE}) составляется
+уравнение \(f_i: x_i = x_i - F_i(x)/M_i\), где \(M_i\) определяется из
+условия сходимости уравнения (\ref{formula:stab_simpleiter}).
+В результате получим систему
+\begin{equation}
+   \begin{aligned}
+       & x_1 = f_1(x_1,x_2,\dots,x_n)   \\
+       & x_2 = f_2(x_1,x_2,\dots,x_n)   \\
+       & \dots\dots\dots\dots\dots\dots \\
+       & x_n = f_n(x_1,x_2,\dots,x_n)   \\
+   \end{aligned}
+   \label{formula:SnLE-Jacobi-fsys}
+\end{equation}
+
+Для получения приближенного решения уравнения применяется формула
+\begin{equation}
+   x^{(p+1)}_{i} = f_i(x^{(p)}_1,x^{(p)}_2,\dots,x^{(p)}_n);
+   \quad i=1,2,3,\dots,n
+\end{equation}
+где \(p, p = 1,2,3,\dots,k,k+1\) --- номер итерации.
+
+Заданная точность \(\varepsilon\) достигается выполнением
+следующего условия:
+\begin{equation*}
+   \forall i = 1,2,3,\dots,n;\ 
+   \max_i |x^{(k+1)}_i - x^{(k)}_i | < \varepsilon
+\end{equation*}
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+Реализаций данного метода в библиотеках numpy, scipy не найдено.
 
 \subsection{Метод Зейделя для систем нелинейных уравнений}
 \subsubsection{Описание метода}