Add method description, Update theory

main.tex

@@ -15,7 +15,117 @@
 \input{intro}
 
 \chapter{Описание численных методов и возможностей библиотек numpy и scipy}
+В данном разделе будут описаны численные методы и их доступные
+реализации в библиотеках в частях, посвященным классам задач, которые
+они решают.
 
+Стоит учитывать, что scipy основан на numpy, поэтому при рассмотрении
+возможностей данных библиотек часто может возникнуть ситуация,
+когда искомый функционал содержится только в scipy, либо в numpy
+или scipy одновременно.
+
+\section{Численное решение нелинейных уравнений}
+При решении некоторых практических задач или проведении исследований
+может быть получена математическая модель, которая включает
+непрерывную функцию \(F(x), x \in \Re\), и необходимо определить корни уравнения
+\(F(x) = 0\). Если данное уравнение не имеет вид \(ax + b = 0\),
+где \(a,b\) -- константы, то оно будет нелинейным.
+
+Для решения нелинейных уравнений существует несколько методов, в данной работе будут рассмотрены итерационные.
+
+Каждый из итерационных методов, перечисленных ниже, соответствует
+следующему алгоритму из двух этапов \cite[с. 15]{book:nm-examples}:
+\begin{enumerate}
+   \item отыскание приближенного значения корня или содержащего
+         его отрезка;
+   \item уточнения значения до некоторой степени точности.
+\end{enumerate}
+Начальное приближение определяется исходя из физических соображений
+решений похожих задач или графических методов. Если ни один из этих
+способов не доступен или не позволяет получить начальное приближение,
+удовлетворяющее требованиям, то применяют следующий алгоритм
+отыскания начального приближения:
+\begin{enumerate}
+   \item Производится поиск двух близкорасположенных значений
+         \(a\) и \(b\) таких, что \(F(a) \cdot F(b) < 0\), при этом
+         \(F(x)\) должна быть всюду определена на отрезке \([a;b]\).
+   \item В качестве начального приближения первой итерации принимается
+         значение \(x_0 \in [a;b]\), обычно это середина данного
+         отрезка.
+\end{enumerate}
+
+Так как выполняется условие \(F(a) \cdot F(b) < 0\) и \(F(x)\) непрерывна, то обязательно найдется такое \(x_k \in (a,b)\), что \(F(x_k) = 0\) либо \(|F(x_k)| < \epsilon\), где \(\epsilon\) --- погрешность искомого решения.
+\subsection{Метод деления отрезка пополам}
+Данный метод использует технику поиска решения, похожую на бинарный
+поиск.
+
+\subsubsection{Описание метода}
+Дано начальное приближение \(x_0 = (a+b)/2\) при
+\(F(a) \cdot F(b) < 0\). Для поиска решения уравнения \(x_k\)
+применяем следующий алгоритм:
+\begin{enumerate}
+   \item Рассмотрим отрезки \([a;x_i], [x_i;b]\), \(i = 0 \dots k\)
+         --- номер итерации. На первой итерации \(i = 0\). \label{list:hls_begin}
+   \item Из рассмотренных отрезков берем те, что удовлетворяют условию
+         \(F(a) \cdot F(b) < 0\), где \(a,b\) --- границы отрезка. \label{list:hls_test}
+   \item Для каждого из взятых в п.\ref{list:hls_test} отрезков
+         вычисляем их длину \(l\). Если \(l < \epsilon\),
+         тогда дальнейшее выполнение данного алгоритма для данного
+         отрезка прекращается. За решение уравнения принимается
+         число \((a+b)/2\), округленное с учетом заданной погрешности.
+         Если для решения задачи достаточно любого одного решения,
+         то работа алгоритма прекращается.
+   \item Для каждого из взятых в п.\ref{list:hls_test} отрезков
+         устанавливаем значения
+         \(a,b,x_{i+1}\). Для левого отрезка эти значения будут равны
+         \(a = a,b = x_i,x_{i+1} = (a+x_i)/2\), для правого ---
+         \(a = x_i,b = b,x_{i+1} = (b+x_i)/2\). \label{list:hls_prepare}
+   \item Для каждого из взятых отрезков переходим к п.\ref{list:hls_begin},
+         с увеличением номера итерации на \(1\) и установленными
+         относительно взятого отрезка значениями из п.\ref{list:hls_prepare}.
+\end{enumerate}
+
+После применение метода на заданных входных данных получим множество
+решений уравнения \(Ans = \{x, x \in \Re\}, |Ans| \geq 1\).
+\subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+Библиотека scipy содержит функцию \textbf{bisect} из модуля
+\textbf{scipy.optimize}\cite{links:scipy_doc}, которая реализует
+данный метод.
+
+Функция имеет следующие параметры (задаются в порядке перечисления):
+\begin{enumerate}
+   \item \(f\) --- function
+
+         Функция Python, возвращающая число. \(f\) должна быть непрерывной, а \(f(a)\) и \(f(b)\) должны иметь противоположные знаки.
+
+   \item \(a\) --- scalar
+
+         Первый конец интервала \([a,b]\).
+   \item \(b\) --- scalar
+
+         Второй конец интервала \([a,b]\).
+   \item \(xtol\) --- number, необязательный
+
+         Вычисленный корень \(x0\) будет удовлетворять \verb|np.allclose(x, x0,| \verb|atol=xtol,| \verb|rtol=rtol)|, где \(x\) --- точный корень. Параметр должен быть положительным.
+   \item \(rtol\) ---  number, необязательный
+
+         Вычисленный корень \(x0\) будет удовлетворять \verb|np.allclose(x, x0,| \verb|atol=xtol, rtol=rtol)|, где \(x\) --- точный корень. Параметр не может быть меньше значения по умолчанию \verb|4*np.finfo(float).eps|.
+   \item \(maxiter\) --- int, необязательный
+
+         Если сходимость не достигается в итерациях \(maxiter\), возникает ошибка. Должен быть \(\geq 0\).
+   \item \(args\) --- tuple, необязательный
+
+         Содержит дополнительные аргументы для функции \(f\). \(f\) вызывается с помощью \verb|apply(f, (x)+args)|.
+   \item \(full\_output\) --- bool, необязательный
+
+         Если \(full\_output\) имеет значение \verb|False|, возвращается корень. Если \(full\_output\) имеет значение \verb|True|, возвращаемое значение равно \verb|(x, r)|, где \(x\) --- это корень, а \(r\) --- объект \verb|RootResults|.
+   \item \(disp\) --- bool, необязательный
+
+         Если \verb|True|, будет сгенерировано исключение \verb|RuntimeError|, если алгоритм не сошелся. В противном случае статус сходимости записывается в возвращаемый объект \verb|RootResults|.
+\end{enumerate}
+
+\subsection{Метод Ньютона (метод касательных)}
+\subsection{Метод простой итерации}
 \chapter{Экспериментальное исследование возможностей библиотек}
 
 

sources.tex

@@ -1,6 +1,7 @@
 \newcommand{\LiteratureAccessDate}[1][1]{%
    дата~обращения: \ifcase#1\or 03.08.2023%
    \or 07.08.2023%
+   \or 09.08.2023%
    \else\@ctrerr\fi
    }
 \renewcommand\bibname{Библиографический список}
@@ -13,8 +14,10 @@
    2011. -- 636 с., c илл. -- (Классический университетский учебник).
    \bibitem{book:lectures} Письменный~Д.~Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть. -- М.: Рольф, 2000. -- 256 с., с илл.
    \bibitem{links:numpy} Numpy. Официальный сайт проекта [Электронный ресурс] -- URL:~\url{https://numpy.org/} (\LiteratureAccessDate[2]).
+   \bibitem{links:numpy_doc} Numpy API Reference [Электронный ресурс] -- URL:~\url{https://numpy.org/doc/stable/reference/index.html} (\LiteratureAccessDate[3]).
    \bibitem{links:python} Python. Официальный сайт проекта [Электронный ресурс] -- URL:~\url{https://www.python.org/} (\LiteratureAccessDate).
    \bibitem{links:scipy} Scipy. Официальный сайт проекта [Электронный ресурс] -- URL:~\url{https://scipy.org/} (\LiteratureAccessDate[2]).
+   \bibitem{links:scipy_doc} Scipy API Reference [Электронный ресурс] -- URL:~\url{https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/index.html} (\LiteratureAccessDate[3]).
    \bibitem{links:tiobe_index} TIOBE. Официальный сайт проекта 
    [Электронный ресурс] -- URL:~\url{https://www.tiobe.com/tiobe-index/} (\LiteratureAccessDate).
 \end{thebibliography}