[content] Add 2 SLE methods. Refactor

main.tex

@@ -58,6 +58,7 @@
 непрерывна, то обязательно найдется такое \(x_k \in (a,b)\), что
 \(F(x_k) = 0\) либо \(|F(x_k)| < \varepsilon\), где \(\varepsilon\)
 --- погрешность искомого решения.
+
 \subsection{Метод деления отрезка пополам}
 Данный метод использует технику поиска решения, похожую на бинарный
 поиск.
@@ -219,7 +220,14 @@
          \end{itemize}
    \item \(disp\) --- bool, необязательный
 
-         Если \verb|True| и алгоритм не сошелся, будет сгенерировано исключение \verb|RuntimeError|, с сообщением, содержащим количество итераций и текущее значение функции. В противном случае статус сходимости записывается в возвращаемый объект \verb|RootResults|. Игнорируется, если \verb|x0| не является скалярным. Примечание: это не имеет ничего общего с отображением, однако ключевое слово \verb|disp| нельзя переименовать для сохранения обратной совместимости.
+         Если \verb|True| и алгоритм не сошелся, будет сгенерировано
+         исключение \verb|RuntimeError|, с сообщением, содержащим
+         количество итераций и текущее значение функции. В противном
+         случае статус сходимости записывается в возвращаемый объект
+         \verb|RootResults|. Игнорируется, если \verb|x0| не является
+         скалярным. Примечание: это не имеет ничего общего с
+         отображением, однако ключевое слово \verb|disp| нельзя
+         переименовать для сохранения обратной совместимости.
 \end{enumerate}
 
 \subsection{Метод простой итерации}
@@ -229,7 +237,8 @@
 Уравнение \(F(x)=0\) приводим к виду \(x = \varphi(x)\), например
 \(x-F(x)/M\), где \(M\) --- константа.
 
-Условие сходимости алгоритма: \(0<|\varphi'(x)|<1\). Исходя из него, \(M\) определяется как \(M=1.01*F'(x_0)\), где \(x_0\) ---
+Условие сходимости алгоритма: \(0<|\varphi'(x)|<1\). Исходя из него,
+\(M\) определяется как \(M=1.01 \cdot F'(x_0)\), где \(x_0\) ---
 начальное приближение.
 
 Таким образом, для итерации \(i, i = 1\dots k,\)
@@ -242,17 +251,150 @@
 В библиотеках numpy, scipy не найдено реализаций данного метода.
 
 \section{Методы решения систем линейных алгебраических уравнений}
+Система линейных алгебраических (далее, СЛУ) уравнений имеет вид
+\begin{eqnarray}
+   \left\{
+   \begin{aligned}
+       & a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{1n}x_n = b_1  \\
+       & a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{2n}x_n = b_2  \\
+       & ........................................ \\
+       & a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + a_{nn}x_n = b_n  \\
+   \end{aligned}
+   \right.
+   \label{formula:eqn_system}
+\end{eqnarray}
+
+Для решения таких систем существуют прямые и итерационные методы.
+Прямые методы (к ним относятся "метод Гаусса", "метод обратной матрицы"
+и "метод прогонки") позволяют получить решение за конечное количество
+операций, точность которого ограничивается лишь погрешностью округления.
+Итерационные методы (среди которых есть методы, такие как
+"метод простой итерации" и "метод Зейделя") позволяют получить
+приближенное решение с помощью последовательного приближения к точному.
+
 \subsection{Метод Гаусса}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
+Для решения СЛУ система (\ref{formula:eqn_system}) приводится к
+треугольному виду (\ref{formula:triag_eqn_system}) с помощью цепочки элементарных преобразований.
+\begin{eqnarray}
+   \left\{
+   \begin{aligned}
+       & a'_{11}x_1 + a'_{12}x_2 + a'_{1n}x_n = b'_1 \\
+       & 0x_1 + a'_{22}x_2 + a'_{2n}x_n = b'_2       \\
+       & ........................................    \\
+       & 0x_1 + 0x_2 + a'_{nn}x_n = b'_n             \\
+   \end{aligned}
+   \right.
+   \label{formula:triag_eqn_system}
+\end{eqnarray}
+Данный процесс называется прямым ходом, а нахождение неизвестных
+\(x_n, x_{n-1}, \dots,x_1 \) --- обратным.
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+В библиотеке scipy реализован частный случай метода Гаусса ---
+LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения решения
+СЛУ необходимо задействовать две функции из модуля \textbf{scipy.linalg} \cite{links:scipy_doc}:
+\begin{enumerate}
+   \item Для получения разложения используется функция
+         \textbf{lu\_factor}.
+   \item Для совершения обратного хода алгоритма используется
+         \textbf{lu\_solve}, которая принимает на вход разложение с
+         предыдущего этапа.
+\end{enumerate}
+
+Функция \textbf{lu\_factor} имеет следующие параметры (задаются в порядке перечисления):
+\begin{enumerate}
+   \item \(a\) --- (M, N) array\_like
+
+         Матрица для разложения
+   \item \(overwrite\_a\) bool, необязательный
+
+         Следует ли перезаписывать данные в A (может повысить
+         производительность). По умолчанию \verb|False|.
+   \item \(check\_finite\) bool, необязательный
+
+         Проверять, содержит ли входная матрица только конечные числа.
+         Отключение может дать прирост производительности, но может
+         привести к проблемам (сбоям, незавершению), если входные данные
+         содержат бесконечности или NaN. По умолчанию \verb|True|.
+\end{enumerate}
+
+Функция \textbf{lu\_solve} имеет следующие параметры (задаются в порядке перечисления):
+\begin{enumerate}
+   \item \((lu, piv)\) --- tuple
+
+         Факторизация матрицы коэффициентов a, полученная из
+         \textbf{lu\_factor}.
+   \item \(b\) --- array
+
+         Правая сторона
+   \item \(trans\) --- {0, 1, 2}, необязательный
+
+         Тип системы, которую необходимо решить:
+
+         \begin{tabularx}{0.8\textwidth}{|X|X|}
+            \hline \(trans\) & вид системы   \\
+            \hline 0         & \(ax = b\)    \\
+            \hline 1         & \(a^T x = b\) \\
+            \hline 2         & \(a^H x = b\) \\
+            \hline
+         \end{tabularx}\\
+
+         По умолчанию \verb|0|.
+   \item \(overwrite\_b\) --- bool, необязательный
+
+         Следует ли перезаписывать данные в \(b\) (может повысить производительность). По умолчанию \verb|False|.
+   \item \(check\_finite\) --- bool, необязательный
+
+         Проверять, содержат ли входные матрицы только конечные числа.
+         Отключение может дать прирост производительности, но может
+         привести к проблемам (сбоям, незавершению), если входные данные
+         содержат бесконечности или NaN. По умолчанию \verb|True|.
+\end{enumerate}
 
 \subsection{Метод обратной матрицы}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
+Исходная система (\ref{formula:eqn_system}) представляется в форме
+\(AX=B\), тогда вектор неизвестных переменных \(X\) определяется по
+формуле (\ref{formula:inv_m_method}).
+\begin{equation}
+   X=A^{-1}B
+   \label{formula:inv_m_method}
+\end{equation}
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+Отдельной функции для решения СЛУ не существует, вектор \(X\) можно
+найти по формуле (\ref{formula:inv_m_method}). Для получения \(A^{-1}\)
+существует функция \textbf{inv} в модуле \textbf{scipy.linalg}
+\cite{links:scipy_doc} библиотеки scipy, и функция \textbf{inv} в модуле
+\textbf{numpy.linalg} библиотеки numpy. Для перемножения \(A^{-1}\)
+и \(B\) в языке Python есть оператор \verb|@|, начиная с версии \(3.5\)
+\cite{links:numpy_doc}\cite{links:PEP465}.
+
+В результате для получения решения СЛУ необходимо выполнить выражение
+\verb|inv(A) @ B|, используя одну из вышеописанных функций.
+
+Функция \textbf{inv} модуля \textbf{scipy.linalg} имеет следующие
+параметры (задаются в порядке перечисления):
+\begin{enumerate}
+   \item \(a\) --- array\_like
+
+         Квадратная матрица, которую необходимо инвертировать.
+   \item \(overwrite\_a\) --- bool, необязательный
+
+         Не запоминать состояние \(a\) (может улучшить
+         производительность). По умолчанию \verb|False|.
+   \item \(check\_finite\) --- bool, необязательный
+
+         Проверять, содержат ли входные матрицы только конечные числа.
+         Отключение может дать прирост производительности, но может
+         привести к проблемам (сбоям, незавершению), если входные данные
+         содержат бесконечности или NaN. По умолчанию \verb|True|.
+\end{enumerate}
+
+Функция \textbf{inv} модуля \textbf{scipy.linalg} имеет следующие
+параметры (задаются в порядке перечисления):
+\begin{enumerate}
+   \item \(a\) --- аналогичен параметру \(a\) функции из модуля \textbf{scipy.linalg}.
+\end{enumerate}
 
 \subsection{Метод прогонки}
 TODO