[theory] Add new method; Fix styling

main.tex

@@ -257,7 +257,7 @@
    \begin{aligned}
        & a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{1n}x_n = b_1  \\
        & a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{2n}x_n = b_2  \\
-       & ........................................ \\
+       & \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\
        & a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + a_{nn}x_n = b_n  \\
    \end{aligned}
    \right.
@@ -281,7 +281,7 @@
    \begin{aligned}
        & a'_{11}x_1 + a'_{12}x_2 + a'_{1n}x_n = b'_1 \\
        & 0x_1 + a'_{22}x_2 + a'_{2n}x_n = b'_2       \\
-       & ........................................    \\
+       & \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots.        \\
        & 0x_1 + 0x_2 + a'_{nn}x_n = b'_n             \\
    \end{aligned}
    \right.
@@ -389,6 +389,7 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
          привести к проблемам (сбоям, незавершению), если входные данные
          содержат бесконечности или NaN. По умолчанию \verb|True|.
 \end{enumerate}
+\vspace{\baselineskip}
 
 Функция \textbf{inv} модуля \textbf{scipy.linalg} имеет следующие
 параметры (задаются в порядке перечисления):
@@ -397,106 +398,225 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
 \end{enumerate}
 
 \subsection{Метод прогонки}
-TODO
+Данный метод применяется для решения трехдиагональных матриц \hspace{1mm} вида
+\begin{equation}
+   \left\{
+   \begin{aligned}
+       & a_1 x_0 + b_1 x_1 + c_1 x_2 = d_1         \\
+       & a_2 x_1 + b_2 x_2 + c_2 x_3 = d_2         \\
+       & \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots       \\
+       & a_n x_{n-1} + b_n x_n + c_n x_{n+1} = d_n \\
+   \end{aligned}
+   \right.
+   \label{formula:eqn_banded_system}
+\end{equation}
+
+Является частным случаем метода Гаусса.
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
+После исключения переменных ниже главной диагонали с помощью
+элементарных преобразований, в каждом уравнении СЛУ остается
+\(\leq 2\) неизвестных. В таком случае, формула обратного хода будет
+следующей: \(x_i = U_i x_{i+1}+V_i, i = n,n-1,\dots,1\). После замены
+\(i\) на \(i-1\) и подстановке выражения в общий вид уравнения из СЛУ
+(\ref{formula:eqn_banded_system}) \(a_i x_{i-1} + b_i x_i + c_i x_{i+1}\)
+получим следующее выражение:
+\begin{equation}
+   x_i = - \frac{c_i}{a_i U_{i-1} + b_i} x_{i+1} +
+   \frac{d_i - a_i V_{i-1}}{a_i U_{i-1} + b_i}
+\end{equation}
+Из которого получим:
+\begin{equation}
+   U_i = - \frac{c_i}{a_i U_{i-1} + b_i},
+   V_i = \frac{d_i - a_i V_{i-1}}{a_i U_{i-1} + b_i}
+   \hspace{1cm} i = 1,2,3,\dots,n
+\end{equation}
+При этом \( c_n = 0; a_1 = 0\).
+
+Таким образом, сначала вычисляем \(U_i, V_i\), затем
+\(x_i, i =n,n-1,\dots,1\).
+
+Данный метод в общем случае не устойчив, за исключением случаев,
+когда матрица СЛУ обладает свойством диагонального преобладания
+(условие \ref{formula:eqn_diag_dominant}) или она положительно
+определенная \cite{links:bhatia}.
+\begin{equation}
+   \sum_{i \ne j} |a_{ij}| < |a_{ii}|
+   \label{formula:eqn_diag_dominant}
+\end{equation}
+
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+В scipy для решения СЛУ вида (\ref{formula:eqn_banded_system})
+существует две функции в модуле \textbf{scipy.linalg}:
+\textbf{solve\_banded} \cite{links:scipy_doc} и
+\textbf{solveh\_banded} \cite{links:scipy_doc}.
+
+Различие между ними заключается в том, что \textbf{solve\_banded}
+не использует метод прогонки, из-за низкой устойчивости метода в общем
+случае, что позволяет найти решение даже если матрица не положительно
+определенная или не обладает свойством диагонального преобладания.
+
+\textbf{solveh\_banded} реализует метод прогонки, но авторы библиотеки
+указывают, что вводимая матрица должна быть положительно определенной
+\cite{links:scipy_doc}.
+
+Функция \textbf{solve\_banded} имеет следующие параметры (задаются в
+порядке перечисления):
+\begin{enumerate}
+   \item \((l, u)\) --- (integer, integer) tuple
+
+         Количество ненулевых нижних и верхних диагоналей.
+   \item \(ab\) --- (l + u + 1, M) array\_like
+
+         Ленточная матрица.
+   \item \(b\) --- (M,) or (M, K) array\_like
+
+         Правая сторона.
+   \item \(overwrite\_ab\) --- bool, необязательный
+
+         Разрешить изменять данные в \(ab\) (может повысить
+         производительность). По умолчанию \verb|False|.
+   \item \(overwrite\_b\) --- bool, необязательный
+
+         Разрешить изменять данные в \(b\) (может повысить
+         производительность). По умолчанию \verb|False|.
+   \item \(check\_finite\) --- bool, необязательный
+
+         Проверять, содержат ли входные матрицы только конечные числа.
+         Отключение может дать прирост производительности, но может
+         привести к проблемам (сбоям, незавершению), если входные данные
+         содержат бесконечности или NaN. По умолчанию \verb|True|.
+\end{enumerate}
+
+Функция \textbf{solveh\_banded} имеет несколько иной набор параметров
+(задаются в порядке перечисления):
+\begin{enumerate}
+   \item \(ab\) --- (u + 1, M) array\_like
+
+         Ленточная матрица, \(u\) --- число верхних диагоналей.
+   \item \(b\) --- (M,) or (M, K) array\_like
+
+         Правая сторона.
+   \item \(overwrite\_ab\) --- bool, необязательный
+
+         Разрешить изменять данные в \(ab\) (может повысить
+         производительность). По умолчанию \verb|False|.
+   \item \(overwrite\_b\) --- bool, необязательный
+
+         Разрешить изменять данные в \(b\) (может повысить
+         производительность). По умолчанию \verb|False|.
+   \item \(lower\) --- bool, необязательный
+
+         Является ли матрица в нижней форме. (По умолчанию используется
+         верхняя форма), то есть \verb|False|.
+   \item \(check\_finite\) --- bool, необязательный
+
+         Совпадает с параметром \(check\_finite\) функции
+         \textbf{solve\_banded}.
+\end{enumerate}
+
+Обе функции принимают матрицу \(ab\) либо в верхней (\textbf{solve\_banded}), либо в нижней форме (\textbf{solveh\_banded} при
+включенной опции \(lower\)). Например, для матрицы
+
+\begin{tabular}[htpb]{ccccc}
+   5 & 2 & -1 & 0  & 0  \\
+   1 & 4 & 2  & -1 & 0  \\
+   0 & 1 & 3  & 2  & -1 \\
+   0 & 0 & 1  & 2  & 2  \\
+   0 & 0 & 0  & 1  & 1  \\
+\end{tabular}\\ 
+верхняя форма будет следующей:
+
+\begin{tabular}[htpb]{ccccc}
+   0 & 0 & -1 & -1 & -1 \\
+   0 & 2 & 2  & 2  & 2  \\
+   5 & 4 & 3  & 2  & 1  \\
+   1 & 1 & 1  & 1  & 0  \\
+\end{tabular}
+
+Так как данная матрица не эрмитова, и, следовательно, не положительно
+определенна, описание нижней формы для нее неуместно. Если взять эрмитову
+положительно определенную матрицу
+
+\begin{tabular}[htpb]{cccccc}
+   4  & 2  & -1 & 0  & 0  & 0  \\
+   2  & 5  & 2  & -1 & 0  & 0  \\
+   -1 & 2  & 6  & 2  & -1 & 0  \\
+   0  & -1 & 2  & 7  & 2  & -1 \\
+   0  & 0  & -1 & 2  & 8  & 2  \\
+   0  & 0  & 0  & -1 & 2  & 9  \\
+\end{tabular}\\
+то ее нижняя форма будет следующая:
+
+\begin{tabular}[htpb]{cccccc}
+   4  & 5  & 6  & 7  & 8 & 9 \\
+   2  & 2  & 2  & 2  & 2 & 0 \\
+   -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 \\
+\end{tabular}
 
 \subsection{Метод простой итерации (метод Якоби)}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 
 \subsection{Метод Зейделя}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 
 \section{Численные методы решения систем нелинейных уравнений}
-TODO
 \subsection{Метод простой итерации (метод Якоби) для систем
    нелинейных уравнений}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 
 \subsection{Метод Зейделя для систем нелинейных уравнений}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 
 \subsection{Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 
 \section{Аппроксимация функций}
 \subsection{Интерполяционный полином в форме Лагранжа}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 
 \subsection{Интерполяционный полином в форме Ньютона}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 
 \subsection{Сплайн-интерполяция}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 
 \subsection{Сглаживание. Метод наименьших квадратов}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 
 \section{Численное интегрирование}
 \subsection{Метод прямоугольников}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 
 \subsection{Метод трапеций}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 
 \subsection{Метод парабол (Симпсона)}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 
 
 \section{Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений}
 \subsection{Метод Эйлера}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 
 \subsection{Модифицированный метод Эйлера}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 
 \subsection{Метод Рунге-Кутта}
-TODO
 \subsubsection{Описание метода}
-TODO
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}