From cc89b8119066492982739e57a4adfe7ff4390f6b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: AVAtarMod <Respawner289@gmail.com>
Date: Fri, 18 Aug 2023 10:50:55 +0300
Subject: [PATCH] Add Newton method to theory

---
 main.tex | 76 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 75 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/main.tex b/main.tex
index ee5ad5e..4c1d0c6 100644
--- a/main.tex
+++ b/main.tex
@@ -94,6 +94,7 @@
 
 После применение метода на заданных входных данных получим множество
 решений уравнения \(Ans = \{x, x \in \textbf{R}\}, |Ans| \geq 1\).
+
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
 Библиотека scipy содержит функцию \textbf{bisect} из модуля
 \textbf{scipy.optimize} \cite{links:scipy_doc}, которая реализует
@@ -147,10 +148,83 @@
 \end{enumerate}
 
 \subsection{Метод Ньютона (метод касательных)}
+Данный итерационный метод позволит найти единственное решение
+уравнения (если оно существует) для каждого из выбранных начальных
+приближений.
+\subsubsection{Описание метода}
+На итерации \(i, i = 1\dots k\), строится касательная к кривой
+\(y = F(x)\) в точке \((x_i;F(x_i))\), затем находится \(x_{i+1}\)
+--- пересечение данной касательной с осью \(Ox\). Процесс продолжается
+пока не будет достигнута заданная точность (\(| F ( x_i ) |< \varepsilon\)
+или \(| x_{i+1} - x_i | < \varepsilon\)).
+
+\subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+Библиотека scipy содержит функцию \textbf{newton} из модуля
+\textbf{scipy.optimize} \cite{links:scipy_doc}, которая реализует
+данный метод.
+
+Функция имеет следующие параметры (задаются в порядке перечисления):
+\begin{enumerate}
+   \item \(f\) --- function
+
+         Функция, корень которой требуется. Это должна быть функция
+         одной переменной вида \(f(x,a,b,c \dots)\), где \(a,b,c \dots\)
+         --- дополнительные аргументы, которые можно передать в параметре
+         \(args\).
+   \item \(x0\) --- float, sequence, или ndarray
+
+         Начальная оценка корня, которая должна быть где-то рядом с
+         фактическим корнем. Если \(f\) не скалярная, то \(f\) должна
+         быть векторизована и возвращать последовательность или массив
+         той же формы, что и ее первый аргумент.
+   \item \(fprime\) --- callable, необязательный
+
+         Производная функции, когда она доступна и удобна. Если это
+         \verb|None| (по умолчанию), то используется метод секущей.
+   \item \(args\) --- tuple, необязательный
+
+         Дополнительные аргументы для использования при вызове функции.
+   \item \(tol\) --- float, необязательный
+
+         Допустимая погрешность значения корня. Если
+         \(y=f(x),y \in \textbf{Z}\), рекомендуется большее значение
+         \(tol\), так как и действительная, и мнимая части \(x\)
+         вносят вклад в \(|x - x0|\).
+   \item \(maxiter\) --- int, необязательный
+
+         Максимальное количество итераций.
+   \item \(fprime2\) --- callable, необязательный
+
+         Производная функции второго порядка, если она доступна и удобна.
+         Если это \verb|None| (по умолчанию), то используется обычный
+         метод Ньютона или метод секущих. Если не \verb|None|, то
+         используется метод Галлея.
+   \item \(x1\) float, необязательный
+
+         Еще одна оценка корня, которая должна быть где-то рядом с фактическим корнем. Используется, если \(fprime\) не указан.
+   \item \(rtol\) ---  float, необязательный
+
+         Допустимое отклонение (относительное) для прерывания работы.
+   \item \(full\_output\) --- bool, необязательный
+
+         Если \(full\_output\) имеет значение \verb|False| (по умолчанию),
+         возвращается корень. Если \verb|True| и \(x0\) --- скаляр,
+         возвращаемое значение равно \verb|(x, r)|, где \(x\) --- это
+         корень, а \(r\) --- объект \verb|RootResults|. Если \verb|True|
+         и \(x0\) --- не скаляр, возвращаемое значение равно
+         \verb|(x, converged, zero_der)|, где:
+         \begin{itemize}
+            \item converged --- ndarray из значений bool. Указывает, какие элементы сошлись успешно.
+            \item zero\_der --- ndarray из значений bool. Указывает, какие элементы имеют нулевую производную.
+         \end{itemize}
+   \item \(disp\) --- bool, необязательный
+
+         Если \verb|True| и алгоритм не сошелся, будет сгенерировано исключение \verb|RuntimeError|, с сообщением, содержащим количество итераций и текущее значение функции. В противном случае статус сходимости записывается в возвращаемый объект \verb|RootResults|. Игнорируется, если \verb|x0| не является скалярным. Примечание: это не имеет ничего общего с отображением, однако ключевое слово \verb|disp| нельзя переименовать для сохранения обратной совместимости.
+\end{enumerate}
+
 \subsection{Метод простой итерации}
 \chapter{Экспериментальное исследование возможностей библиотек}
 
-
 \chapter*{Заключение}
 \addcontentsline{toc}{chapter}{Заключение}