From 36c728cddd7c0af0d2990dc787e5a161bdf8260b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: AVAtarMod <Respawner289@gmail.com>
Date: Tue, 22 Aug 2023 14:20:41 +0300
Subject: [PATCH] [content] Fix formulas, style; Add 2 methods - Add matrix
 representation of SLE

---
 main.tex | 79 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-----
 1 file changed, 72 insertions(+), 7 deletions(-)

diff --git a/main.tex b/main.tex
index e00641b..d631b50 100644
--- a/main.tex
+++ b/main.tex
@@ -263,6 +263,33 @@
    \right.
    \label{formula:eqn_system}
 \end{eqnarray}
+СЛУ также представима в матричной форме \(AX=B\), где \(A,X,B\) имеют
+следующий вид:
+\begin{eqnarray}
+   A = \left(
+   \begin{aligned}
+          & a_{11} \quad a_{12} \quad \dots \quad a_{1n}            \\
+          & a_{21} \quad a_{22} \quad \dots \quad a_{2n}            \\
+          & \ \vdots \ \qquad \vdots \quad  \ \ddots \quad \ \vdots \\
+          & a_{n1} \quad a_{n2} \quad \dots \quad a_{nn}            \\
+      \end{aligned}
+   \right), B = \left(
+   \begin{aligned}
+          & b_1      \\
+          & b_2      \\
+          & \ \vdots \\
+          & b_n      \\
+      \end{aligned}
+   \right), X = \left(
+   \begin{aligned}
+          & x_1      \\
+          & x_2      \\
+          & \ \vdots \\
+          & x_n      \\
+      \end{aligned}
+   \right)
+   \label{formula:eqn_matrix_system}
+\end{eqnarray}
 
 Для решения таких систем существуют прямые и итерационные методы.
 Прямые методы (к ним относятся "метод Гаусса", "метод обратной матрицы"
@@ -272,6 +299,8 @@
 "метод простой итерации" и "метод Зейделя") позволяют получить
 приближенное решение с помощью последовательного приближения к точному.
 
+Для итерационных методов необходимо начальное приближение, которое
+будет обозначено как \(x^{(0)}\).
 \subsection{Метод Гаусса}
 \subsubsection{Описание метода}
 Для решения СЛУ система (\ref{formula:eqn_system}) приводится к
@@ -389,7 +418,7 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
          привести к проблемам (сбоям, незавершению), если входные данные
          содержат бесконечности или NaN. По умолчанию \verb|True|.
 \end{enumerate}
-\vspace{\baselineskip}
+\pagebreak
 
 Функция \textbf{inv} модуля \textbf{scipy.linalg} имеет следующие
 параметры (задаются в порядке перечисления):
@@ -430,17 +459,16 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
    V_i = \frac{d_i - a_i V_{i-1}}{a_i U_{i-1} + b_i}
    \hspace{1cm} i = 1,2,3,\dots,n
 \end{equation}
-При этом \( c_n = 0; a_1 = 0\).
-
-Таким образом, сначала вычисляем \(U_i, V_i\), затем
-\(x_i, i =n,n-1,\dots,1\).
+При этом \( c_n = 0; a_1 = 0\), в ходе выполнения алгоритма сначала
+вычисляем \(U_i, V_i\), затем \(x_i, i =n,n-1,\dots,1\).
+\pagebreak
 
 Данный метод в общем случае не устойчив, за исключением случаев,
 когда матрица СЛУ обладает свойством диагонального преобладания
 (условие \ref{formula:eqn_diag_dominant}) или она положительно
 определенная \cite{links:bhatia}.
 \begin{equation}
-   \sum_{i \ne j} |a_{ij}| < |a_{ii}|
+   \sum_{i \ne j} |a_{ij}| < |a_{ii}|; \qquad i=1,2,3,\dots,n
    \label{formula:eqn_diag_dominant}
 \end{equation}
 
@@ -523,7 +551,7 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
    0 & 1 & 3  & 2  & -1 \\
    0 & 0 & 1  & 2  & 2  \\
    0 & 0 & 0  & 1  & 1  \\
-\end{tabular}\\ 
+\end{tabular}\\
 верхняя форма будет следующей:
 
 \begin{tabular}[htpb]{ccccc}
@@ -555,11 +583,48 @@ LU-разложение \cite[с. 259]{book:levitin}. Для получения
 
 \subsection{Метод простой итерации (метод Якоби)}
 \subsubsection{Описание метода}
+Для матрицы СЛУ (\ref{formula:eqn_matrix_system}) размеров
+\(n \times n\), и начального приближения \(x^{(0)}\) приближенное
+решение на итерации \(p, p = 1,2,\dots,k,k+1\) вычисляется по
+следующей формуле:
+\begin{equation*}
+   x^{(p+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}}
+   (b_i - \sum_{j=1}^{i-1}a_{ij} x^{(p)}_j
+   - \sum_{j=i+1}^{n}a_{ij} x^{(p)}_j);
+   \quad i = 1,2,3,\dots,n
+\end{equation*}
+
+Метод сходится при \(p \to \infty\), если матрица СЛУ обладает свойством
+диагонального преобладания (выполняется условие
+\ref{formula:eqn_diag_dominant}). Заданная точность достигается
+при выполнении условия:
+\begin{equation}
+   \max_i |x^{(p+1)}_i-x^{(p)_i}| < \varepsilon
+   \label{formula:precision_iter_sle}
+\end{equation}
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+Реализаций данного метода в библиотеках numpy, scipy не найдено.
 
 \subsection{Метод Зейделя}
 \subsubsection{Описание метода}
+Для матрицы СЛУ (\ref{formula:eqn_matrix_system}) размеров
+\(n \times n\), и начального приближения \(x^{(0)}\) приближенное
+решение на итерации \(p, p = 1,2,\dots,k,k+1\) вычисляется по
+следующей формуле:
+\begin{equation*}
+   x^{(p+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}}
+   (b_i - \sum_{j=1}^{i-1}a_{ij} x^{(p+1)}_j
+   - \sum_{j=i+1}^{n}a_{ij} x^{(p)}_j);
+   \quad i = 1,2,3,\dots,n
+\end{equation*}
+
+Данный метод, в отличие от предыдущего, использует уже найденные
+компоненты этой же итерации с м\'eньшим индексом.
+
+Сходимость и точность задаются условиями
+(\ref{formula:eqn_diag_dominant}) и (\ref{formula:precision_iter_sle}).
 \subsubsection{Реализации метода в библиотеках numpy, scipy}
+Реализаций данного алгоритма в библиотеках numpy, scipy не найдено.
 
 \section{Численные методы решения систем нелинейных уравнений}
 \subsection{Метод простой итерации (метод Якоби) для систем